Zadania z ciągami

[Taotao2]

Wypisz sześć początkowych wyrazów ciągu \(a_n\)

1. \(\begin{cases} a_1=32 , a_2=64 \\ a_{n+2}= \frac{a_n+a_{n+1}}{2} , n\geq 1 \end{cases}\)

2. \( \begin{cases}a_1=a_2=a_3=1 \\ a_n=a_{n+2}+a_{n+1}+a_n, n \geq 1 \end{cases} \)

Wykaż, że wszystkie wyrazu ciągu \(a_n\) określonego wzorem
\[a_n= \frac{1}{n+1}+ \frac{1}{n+2}+...+ \frac{1}{2n} \]
spełniają warunek \( \frac{1}{2}\leq a_n \leq 1\).

3. Uzasadnij, że ciąg a_n jest ograniczony
1) \(\begin{cases} a_1=100 \\ a_{n+1}=\sin^2a_n+10 \end{cases} \)

4. Uzasadnij, że jeżeli \(a_n\) jest ciągiem ograniczonym, to również ograniczony jest ciąg:
\(c_n=4 \cdot (a_n)^2+8 \cdot a_n\)

5. a) Dana jest funkcja \(f(x)=x^2-2x+3\). Wykaż, że ciąg \(x_n\) określony wzorem
\(x_n=f(n+1)-f(n)\) jest arytmetyczny.

b) Wykaż, że dla dowolnej funkcji kwadratowej ciąg \(x_n \) jest określony wzorem
\(x_n=f(n+1)-f(n)\) jest arytmetyczny.

[eresh]

Wypisz sześć początkowych wyrazów ciągu \(a_n\)

1. \(\begin{cases} a_1=32 , a_2=64 \\ a_{n+2}= \frac{a_n+a_{n+1}}{2} , n\geq 1 \end{cases}\)

\(a_1=32\\
a_2=64\\
a_3=\frac{a_1+a_2}{2}=\frac{32+64}{2}=48\\
a_4=\frac{a_2+a_3}{2}=\frac{64+48}{2}=56\\
a_5=\frac{a_3+a_4}{2}=\frac{48+56}{2}=52\\
a_6=\frac{a_4+a_5}{2}=\frac{56+52}{2}=54\\\)

[eresh]

Wypisz sześć początkowych wyrazów ciągu \(a_n\)

2. \( \begin{cases}a_1=a_2=a_3=1 \\ a_n=a_{n+2}+a_{n+1}+a_n, n \geq 1 \end{cases} \)

\(a_1=1\\
a_2=1\\
a_3=1\\
a_4=a_1+a_2+a_3=3\\
a_5=a_4+a_3+a_2=5\\
a_6=a_5+a_3+a_4=9\)

[eresh]

Wypisz sześć początkowych wyrazów ciągu \(a_n\)

5. a) Dana jest funkcja \(f(x)=x^2-2x+3\). Wykaż, że ciąg \(x_n\) określony wzorem
\(x_n=f(n+1)-f(n)\) jest arytmetyczny.

\(f(x)=x^2-2x+3\\
x_n=f(n+1)-f(n)\\
x_n=(n+1)^2-2(n+1)+3-n^2+2n-3\\
x_n=n^2+2n+1-2n-2-n^2+2n\\
x_n=2n-1\\
x_{n+1}-x_n=2(n+1)-1-2n+1=2n+2-2n=2=r\)

[eresh]

5.

b) Wykaż, że dla dowolnej funkcji kwadratowej ciąg \(x_n \) jest określony wzorem
\(x_n=f(n+1)-f(n)\) jest arytmetyczny.

\(f(x)=ax^2+bx+c,\;\;\;\; a\neq 0\\
x_n=a(n+1)^2+b(n+1)+c-an^2-bn-c\\
x_n=an^2+2an+a+bn+b-an^2-bn\\
x_n=2an+a+b\\
x_{n+1}-x_n=2a(n+1)+a+b-2an-a-b=2a=r\)