ciąg geometryczny

[BarT123oks]

W rosnącym ciągu geometrycznym suma pierwszego oraz ostatniego wyrazu równa się 66, a iloczyn wyrazu drugiego oraz przedostatniego równa się 128. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu równa się 126. Ile wyrazów ma ten ciąg.

[eresh]

W rosnącym ciągu geometrycznym suma pierwszego oraz ostatniego wyrazu równa się 66, a iloczyn wyrazu drugiego oraz przedostatniego równa się 128. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu równa się 126. Ile wyrazów ma ten ciąg.

\(a_1+a_n=66\\
a_1+a_1q^{n-1}=66\\
a_1q^{n-1}=66-a_1\\
q^{n-1}=\frac{66-a_1}{a_1}
\)

\(a_2a_{n-1}=128\\
a_1qa_1q^{n-2}=128\\
a_1^2q^{n-1}=128\\
a_1^2\cdot \frac{66-a_1}{a_1}=128\\
a_1(66-a_1)=128\)
\(a_1=2\;\;\;\vee\;\;\;a_1=64\\
q^{n-1}=32\;\;\;\vee\;\;\;q^{n-1}=\frac{1}{32}\\
\)

\(S_n=126\\
\frac{a_1(1-q^{n})}{1-q}=126\\
2(1-q^n)=126-126q\\
q^{n-1}=32\So q^n\cdot\frac{1}{q}=32\So q^n=32q\\
2(1-32q)=126-126q\\
1-32q=63-63q\\
31q=62\\
q=2\\q^{n-1}=32\\
2^{n-1}=32\\
n-1=5\\
n=6\)