Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości

[marekpsi]

Dana jest funkcja f opisana wzorem \(f(x)= \frac{-3}{x-1} + \frac{9}{(x-1)^2}+ \frac{-27}{(x-1)^3} + ...,\) gdzie prawa strona jest sumą szeregu geometrycznego zbieżnego.
Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji f

[eresh]

Dana jest funkcja f opisana wzorem \(f(x)= \frac{-3}{x-1} + \frac{9}{(x-1)^2}+ \frac{-27}{(x-1)^3} + ...,\) gdzie prawa strona jest sumą szeregu geometrycznego zbieżnego.
Wyznacz dziedzinę i zbiór wartości funkcji f

\(q=\frac{9}{(x-1)^2}\cdot\frac{x-1}{-3}=\frac{-3}{x-1}\\
x\neq 1\\
|q|<1\\
\frac{3}{|x-1|}<1\\
3<|x-1|\\
x-1>3\;\;\;\vee\;\;x-1<-3\\
x>4\;\;\;\vee\;\;\;x<-2\\
D=(-\infty, -2)\cup (4,\infty)\)

\(f(x)=\frac{\frac{-3}{x-1}}{1+\frac{3}{x-1}}\\
f(x)=\frac{-3}{x-1}\cdot\frac{x-1}{x-1+3}\\
f(x)=\frac{-3}{x+2}
\)

Narysuj hiperbolę dla \(x\in D\) i odczytaj zbiór wartości
\(ZW=(\frac{-1}{2},0)\cup (0,\infty\))