Oblicz granicę
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
anilewe_MM
- Czasem tu bywam
- Posty: 137
- Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
- Podziękowania: 578 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Oblicz granicę
\( \Lim_{n\to+\infty }(\frac{5}{9})\cdot(\frac{14}{20})\cdot(\frac{27}{35})\cdot...\cdot(\frac{2n^2-n-1}{2n^2+n-1}) \)
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3512
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1923 razy
Re: Oblicz granicę
Fakt:
\(\dfrac{2k^2-k-1}{2k^2+k-1}=\dfrac{(k-1)(2k+1)}{(k+1)(2k-1)}\)
Zatem (zauważ kreślenie się czynników w licznikach i mianownikach!)
\(a_n=\dfrac{1\cdot5}{3\cdot3}\cdot\dfrac{2\cdot7}{4\cdot5}\cdot\dfrac{3\cdot9}{5\cdot7}\cdot\dfrac{4\cdot11}{6\cdot9}\cdot\dfrac{5\cdot13}{7\cdot11}\cdot\ldots\cdot\dfrac{(n-1)(2n+1)}{(n+1)(2n-1)}=
\dfrac{1\cdot2\cdot(2n+1)}{3\cdot n\cdot(n+1)}\nad{n\to+\infty}{\longrightarrow}0\)
Pozdrawiam
\(\dfrac{2k^2-k-1}{2k^2+k-1}=\dfrac{(k-1)(2k+1)}{(k+1)(2k-1)}\)
Zatem (zauważ kreślenie się czynników w licznikach i mianownikach!)
\(a_n=\dfrac{1\cdot5}{3\cdot3}\cdot\dfrac{2\cdot7}{4\cdot5}\cdot\dfrac{3\cdot9}{5\cdot7}\cdot\dfrac{4\cdot11}{6\cdot9}\cdot\dfrac{5\cdot13}{7\cdot11}\cdot\ldots\cdot\dfrac{(n-1)(2n+1)}{(n+1)(2n-1)}=
\dfrac{1\cdot2\cdot(2n+1)}{3\cdot n\cdot(n+1)}\nad{n\to+\infty}{\longrightarrow}0\)
Pozdrawiam