Ciągi arytmetyczne

[hojrak]

1. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu arytmetycznego, jeśli:
a) \(a_n=2n-18\) a suma trzech końcowych wyrazów jest równa \(60\)
b) \(a_n=3n-5\) oraz ciąg ma nieparzystą liczbę wyrazów, a suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa \(78\)

2. Suma \(25\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa trzynastemu wyrazowi tego ciągu. Oblicz stosunek wartości pierwszego wyrazu do różnicy ciągu oraz trzynasty wyraz.

3.
a) Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(7\), a jego różnica wynosi \(2\). Suma \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu jest dwa razy mniejsza od sumy kolejnych \(n\) wyrazów. Oblicz \(n\).
b) Suma sześciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest trzy razy mniejsza od sumy kolejnych sześciu wyrazów. Oblicz pierwszy wyraz, jeśli \(a_2\cdot a_3=15\)

[eresh]

1. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu arytmetycznego, jeśli:
a) a_n=2n-18 a suma trzech końcowych wyrazów jest równa 60

\(a_n=2n-18\\
a_1=-16\\
a_2=-14\\
r=-14+16=2\)

\(a_n+a_{n-1}+a_{n-2}=60\\
a_n+a_n-r+a_n-2r=60\\
3a_n-3r=60\\
6n-54-6=60\\
6n=120\\
n=20\)

\(S_{20}=\frac{2\cdot (-16)+19\cdot 2}{2}\cdot 20\\
S_{20}=60\)

[eresh]

1. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu arytmetycznego, jeśli:

b) a_n=3n-5 oraz ciąg ma nieparzystą liczbę wyrazów, a suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 78

\(a_1=-2\\
a_2=1\\
r=3\\
a_1+a_3+a_5+...+a_{2n+1}=78\\
\frac{2a_1+(n+1-1)\cdot 2r}{2}(n+1)=78\\
(a_1+nr)(n+1)=78\\
(-2+3n)(n+1)=78\\
n=5\\
2n+1=11\\
S_{11}=\frac{-4+30}{2}\cdot 11=143\)

[eresh]

2. Suma 25 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa trzynastemu wyrazowi tego ciągu. Oblicz stosunek wartości pierwszego wyrazu do różnicy ciągu oraz trzynasty wyraz.

\(S_{25}=a_{13}\\
\frac{2a_1+24r}{2}\cdot 25=a_1+12r\\
(a_1+12r)\cdot 25=a_1+12r\\
24a_1=-288r\\
\frac{a_1}{r}=-\frac{288}{24}=-12\)

\(a_{13}=a_1+12r=-12r+12r=0\)

[eresh]

3.
a) Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 7, a jego różnica wynosi 2. Suma n początkowych wyrazów tego ciągu jest dwa razy mniejsza od sumy kolejnych n wyrazów. Oblicz n.

\(a_1=7\\
r=2\\
2S_n=a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{2n}\\
2\cdot\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n=\frac{2a_{n+1}+(n-1)r}{2}\cdot n\\
2(2a_1+(n-1)r)=2(a_1+nr)+(n-1)r\\
28+4(n-1)=14+4n+2n-2\\
-2n=-12\\
n=6
\)

[eresh]

3.

b) Suma sześciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznygo jest trzy razy mniejsza od sumy kolejnych sześciu wyrazów. Oblicz pierwszy wyraz, jeśli \(a_2\cdot a_3=15\)

\(3S_6=a_7+a_8+...+a_{12}\\
3\cdot\frac{2a_1+5r}{2}\cdot 6=\frac{2a_7+5r}{2}\cdot 6\\
6a_1+15r=2a_1+17r\\
4a_1=2r\\
r=2a_1\)

\(a_2a_3=15\\
(a_1+r)(a_1+2r)=15\\
3a_1\cdot 5a_1=15\\
a_1^2=1\\
a_1=1\;\;\vee\;\;a_1=-1\)