Oblicz sumę

[xenoneq_o0]

Oblicz sumę \( \frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2}} + \frac{3}{2^{3}} +\cdots\)

[grdv10]

Trzy kropki nic nie znaczą. Nie wiadomo co tam wpisywać. Cóż z tego, że się domyślę następnych wyrazów. Nikt nie powiedział, że tak ma być. Trzy kropki działają na matematyka jak płachta na byka.

Ja obliczę sumę\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}.\]

Wiemy, że jeśli \(|x|<1\), to\[\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n.\]Po zróżniczkowaniu tego szeregu mamy\[\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}.\]Przekształćmy lekko naszą sumę, a potem wstawmy linię wyżej \(x=\frac{1}{2}\):\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n-1}}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}n\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\left(1-\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{1}{2}\cdot 4=2.\]

[Jerry]

Albo, po prostu, na poziomie szkoły ponadpodstawowej:
\(+\underline{\begin{cases}\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} +\ldots=1\\
\qquad \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} +\ldots=\frac{1}{2}\\
\qquad \qquad \frac{1}{2^{3}} +\ldots= \frac{1}{4}\\ \ldots\end{cases}}\\
\frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2}} + \frac{3}{2^{3}} +\cdots=1+{1\over2}+{1\over4}+\ldots=2 \)

Pozdrawiam

[grdv10]

Albo, po prostu:
\(+\underline{\begin{cases}\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} +\ldots=1\\
\qquad \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} +\ldots=\frac{1}{2}\\
\qquad \qquad \frac{1}{2^{3}} +\ldots= \frac{1}{4}\\ \ldots\end{cases}}\\
\frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2}} + \frac{3}{2^{3}} +\cdots=1+{1\over2}+{1\over4}+\ldots=2 \)

Pozdrawiam

Oczywiście z uwzględnieniem początkowej uwagi z mojej odpowiedzi (znaczenie trzech kropek). Na poziomie szkoły ponadpodstawowej musimy jednak przyjąć, że wszystkie operacje, które wykonałeś, są dozwolone, co jest w rzeczy samej prawdą.

Ładne rozwiązanie, podoba mi się. Mało tego, wystarczy wyliczyć sumę z pierwszej linii, a suma z każdej następnej liczy się sama. To naprawdę bardzo fajny pomysł.

[kerajs]

\( \frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2}} + \frac{3}{2^{3}} +\cdots=S\\
(\frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} +\cdots)+( \frac{1}{2^2} + \frac{2}{2^{3}} +\frac{3}{2^{4}} +\cdots)=S \\
1+\frac{1}{2} (\frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2}} + \frac{3}{2^{3}} +\cdots)=S\\
1+ \frac{1}{2}S=S\\
S=2

\)