granica ciągu

[xenoneq_o0]

Obliczyć granicę ciągu \( a_n=\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right) \left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \left(1-\frac{1}{4^{2}}\right) \cdots \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right) \)

[grdv10]

Zauważ, że\[1-\frac{1}{n^2}=\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right).\]Dlatego, po przegrupoawniu wyrazów, mamy\[a_n=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\dots\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\dots\left(1+\frac{1}{n}\right).\]Zatem\[a_n=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot\ldots\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\ldots\cdot\frac{n+1}{n}=\frac{1}{n}\cdot\frac{n+1}{2}\longrightarrow\frac{1}{2}.\]

[xenoneq_o0]

Zauważ, że\[1-\frac{1}{n^2}=\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{1}{n}\right).\]Dlatego, po przegrupoawniu wyrazów, mamy\[a_n=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\dots\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\dots\left(1+\frac{1}{n}\right).\]Zatem\[a_n=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot\ldots\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\ldots\cdot\frac{n+1}{n}=\frac{1}{n}\cdot\frac{n+1}{2}\longrightarrow\frac{1}{2}.\]

Nie rozumiem ostatniej linijki, skąd się wzięło po przekształceniu, że \( a_n=\frac{1}{n}\cdot\frac{n+1}{2} \) ?

[grdv10]

Zobacz, jak te ułamki się upraszczają - w jednej grupie z minusami i w drugiej - z plusami.

[xenoneq_o0]

Zobacz, jak te ułamki się upraszczają - w jednej grupie z minusami i w drugiej - z plusami.

Okej faktycznie ;DD. Dziękuję bardzo.