Skończony rosnący ciąg geom.

[avleyi]

W skończonym rosnącym ciągu geometrycznym \((a_n)\) o parzystej liczbie wyrazów, suma wszystkich wyrazów jest trzy razy większa od sumy wyrazów o numerach nieparzystych.
a. Oblicz iloraz tego ciągu.
b. Dla obliczonego ilorazu oraz \(a_1= \frac{1}{2} \) i \(n \le 4\) narysuj wykres funkcji \(f(n)=S_n\) oznacza sumę n początkowych wyrazów tego ciągu.

[eresh]

W skończonym rosnącym ciągu geometrycznym \((a_n)\) o parzystej liczbie wyrazów, suma wszystkich wyrazów jest trzy razy większa od sumy wyrazów o numerach nieparzystych.
a. Oblicz iloraz tego ciągu.
b. Dla obliczonego ilorazu oraz \(a_1= \frac{1}{2} \) i \(n \le 4\) narysuj wykres funkcji \(f(n)=S_n\) oznacza sumę n początkowych wyrazów tego ciągu.

\(a_1 \cdot \frac{1-q^{2n}}{1-q}=3a_1 \cdot \frac{1-q^{2n}}{1-q^2}\\
\frac{1}{1-q}=\frac{3}{1-q^2}\\
1+q=3\\
q=2 \)

[eresh]

W skończonym rosnącym ciągu geometrycznym \((a_n)\) o parzystej liczbie wyrazów, suma wszystkich wyrazów jest trzy razy większa od sumy wyrazów o numerach nieparzystych.

b. Dla obliczonego ilorazu oraz \(a_1= \frac{1}{2} \) i \(n \le 4\) narysuj wykres funkcji \(f(n)=S_n\) oznacza sumę n początkowych wyrazów tego ciągu.

\(S_1=\frac{1}{2}\\
S_2=\frac{1}{2}+1=1,5\\
S_3=1,5+2=3,5\\
S_4=3,5+4=7,5\\
f(n)=\begin{cases}\frac{1}{2}\mbox{ dla }n=1\\1,5\mbox{ dla }n=2\\3,5\mbox{ dla }n=3\\7,5\mbox{ dla }n=4\end{cases}\)

[avleyi]

jak wyprowadzić wzór na ciag geom nieparzysty i parzysty bo nie rozumiem podpunktu a?

[eresh]

jak wyprowadzić wzór na ciag geom nieparzysty i parzysty bo nie rozumiem podpunktu a?

skoro jest parzysta liczba wyrazów, to przyjęłam, że jest ich \(2n\)
\(S_{2n}=a_1\cdot\frac{1-q^{2n}}{1-q}\)

nieparzyste, to \(a_1, a_3, a_5,...\) - tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \(\frac{a_3}{a_1}=\frac{a_1q^2}{a_1}=q\), jest ich \(n\) (połowa wszystkich)

\(S=\frac{a_1(1-(q^2)^n}{1-q^2}\)