ciąg określony rekurencyjnie

[iteKora]

Niech \(c \ge 0\).
Ciąg \(a_n\) zostaje określony następująco: \(a_1=c\) oraz \( a_{n+1}= \sqrt{2+a_n}\) dla \(n \ge ­1\).
Dla jakich \(c\) ciąg \(a_n\) jest rosnący?
Wykazać, że dla dowolnego \(c\) ciąg \(a_n\) ma skończoną granicę.

[grdv10]

Aby zbadać, kiedy ciąg jest rosnący, rozwiążmy nierówność \(a_2>a_1\), czyli \(\sqrt{2+c}>c\), czyli równoważnie \(2+c>c^2\), skąd \(c\in(-1,2)\). Niech teraz \(n\geqslant 2\). Ustalając \(c\in(-1,2)\) i robiąc założenie indukcyjne, że \(a_n\in(-1,2)\) dostaniemy, że \(2+a_n\in(1,4)\), więc \(\sqrt{2+a_n}\in (1,2)\subset(-1,2)\). Stąd (patrząc analogicznie na powyższą nierówność z \(c\)) będziemy mieli \(2+a_n>a_n^2\), a stąd już \(a_{n+1}>a_n\). Wykazaliśmy więc, że jeśli \(c\in(-1,2)\), to ciąg \((a_n)\) jest rosnący, a ponadto ograniczony z góry, więc jest zbieżny, czyli ma granicę \(x\in\langle 1,2\rangle\). Po przejściu z \(n\) do nieskończoności w równaniu rekurencyjnym dostaniemy \(x^2=x+2\), skąd \(x=2\), bo rozwiązanie ujemne nie wchodzi w grę.

[iteKora]

Dziękuję za odpowiedź. Czy nie powinno być \(c \in \left[0,2 \right) \), skoro jest założenie \(c \ge 0\)?

[grdv10]

Dziękuję za odpowiedź. Czy nie powinno być \(c \in \left[0,2 \right) \), skoro jest założenie \(c \ge 0\)?

Tak. W każdym razie tezy się utrzymują, a ja pokazałem coś więcej.