granica ciągu

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
iteKora
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 12
Rejestracja: 23 sie 2018, 16:42
Podziękowania: 11 razy
Płeć:

granica ciągu

Post autor: iteKora »

W jaki sposób obliczyć granicę takiego ciągu?
\( \Lim_{n\to \infty}\left( 2^{1/n}-1\right)\cdot n \)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3465
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1901 razy

Re: granica ciągu

Post autor: Jerry »

Ja bym to uciąglił i policzył
\(\Lim_{x\to+\infty}\dfrac{2^{1\over x}-1}{{1\over x}}=\left[{0\over0}\right]\nad{H}{=}\Lim_{x\to+\infty}\dfrac{-{1\over x^2}\cdot2^{1\over x}\ln2}{-{1\over x^2}}=\ln2\)
Mało eleganckie, ale szybkie i skuteczne

Pozdrawiam
anilewe_MM
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 133
Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
Podziękowania: 563 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: granica ciągu

Post autor: anilewe_MM »

Jerry pisze: 10 lis 2022, 01:02 Ja bym to uciąglił i policzył
\(\Lim_{x\to+\infty}\dfrac{2^{1\over x}-1}{{1\over x}}=\left[{0\over0}\right]\nad{H}{=}\Lim_{x\to+\infty}\dfrac{-{1\over x^2}\cdot2^{1\over x}\ln2}{-{1\over x^2}}=\ln2\)
Mało eleganckie, ale szybkie i skuteczne
Czy ja powinnam to znać w szkole średniej?
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3465
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1901 razy

Re: granica ciągu

Post autor: Jerry »

Niekoniecznie, reguła del'Hospitala nie jest w kanonie szkoły ponadpodstawowej

Pozdrawiam
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: granica ciągu

Post autor: grdv10 »

Jerry pisze: 10 lis 2022, 01:02 Ja bym to uciąglił i policzył
\(\Lim_{x\to+\infty}\dfrac{2^{1\over x}-1}{{1\over x}}=\left[{0\over0}\right]\nad{H}{=}\Lim_{x\to+\infty}\dfrac{-{1\over x^2}\cdot2^{1\over x}\ln2}{-{1\over x^2}}=\ln2\)
Mało eleganckie, ale szybkie i skuteczne

Pozdrawiam
A może tak...\[e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\]skąd\[e^x-1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}.\]Zatem\[\frac{e^x-1}{x}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}=1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}.\]Szereg potęgowy po prawej stronie określa funkcję różniczkowalną, a więc i ciągłą, która w zerze ma wartość \(0\). Zatem\[\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1.\]Podstawiając \(2^x=e^{x\ln 2}\) mamy\[\lim_{x\to 0}\frac{2^x-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x\ln 2}-1}{x\ln 2}\cdot\ln 2=\ln 2.\]Oczywiście \(2\) możemy zastąpić dowolnym \(a>0\) otrzymując w granicy \(\ln a\). Ogólnie ten fakt posiada dowód bezpośredni.
ODPOWIEDZ