W jaki sposób obliczyć granicę takiego ciągu?
\( \Lim_{n\to \infty}\left( 2^{1/n}-1\right)\cdot n \)
granica ciągu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3465
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1901 razy
Re: granica ciągu
Ja bym to uciąglił i policzył
\(\Lim_{x\to+\infty}\dfrac{2^{1\over x}-1}{{1\over x}}=\left[{0\over0}\right]\nad{H}{=}\Lim_{x\to+\infty}\dfrac{-{1\over x^2}\cdot2^{1\over x}\ln2}{-{1\over x^2}}=\ln2\)
Mało eleganckie, ale szybkie i skuteczne
Pozdrawiam
\(\Lim_{x\to+\infty}\dfrac{2^{1\over x}-1}{{1\over x}}=\left[{0\over0}\right]\nad{H}{=}\Lim_{x\to+\infty}\dfrac{-{1\over x^2}\cdot2^{1\over x}\ln2}{-{1\over x^2}}=\ln2\)
Mało eleganckie, ale szybkie i skuteczne
Pozdrawiam
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 133
- Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
- Podziękowania: 563 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: granica ciągu
A może tak...\[e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\]skąd\[e^x-1=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}.\]Zatem\[\frac{e^x-1}{x}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}=1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}.\]Szereg potęgowy po prawej stronie określa funkcję różniczkowalną, a więc i ciągłą, która w zerze ma wartość \(0\). Zatem\[\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1.\]Podstawiając \(2^x=e^{x\ln 2}\) mamy\[\lim_{x\to 0}\frac{2^x-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x\ln 2}-1}{x\ln 2}\cdot\ln 2=\ln 2.\]Oczywiście \(2\) możemy zastąpić dowolnym \(a>0\) otrzymując w granicy \(\ln a\). Ogólnie ten fakt posiada dowód bezpośredni.