Trzy liczby, których suma

[avleyi]

Trzy liczby, których suma jest równa 22,5 są trzema początkowymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego. Liczby: pierwsza, druga pomniejszona o 3 i trzecia są w podanej kolejności początkowymi wyrazami pewnego ciągu geometrycznego.
a. Dla rosnącego ciągu arytmetycznego, który wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(0,5 \cdot 27^4\)?
b. Ile początkowych wyrazów malejącego ciągu arytmetycznego należy wziąć, aby ich suma była największa?

[eresh]

Trzy liczby, których suma jest równa 22,5 są trzema początkowymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego. Liczby: pierwsza, druga pomniejszona o 3 i trzecia są w podanej kolejności początkowymi wyrazami pewnego ciągu geometrycznego.

\((a,b,c)\) - arytmetyczny
\((a,b-3,c)\) - geometryczny

\(a+b+c=22,5\\
b=\frac{a+c}{2}\So 2b=a+c\\
b+2b=22,5\\
b=7,5\\
c=15-a\)

\((b-3)^2=ac\\
4,5^2=a(15-a)\\
20,25=15a-a^2\\
a=13,5\;\;\vee\;\;a=1,5\)

ciąg arytmetyczny:
\((\frac{27}{2},\frac{15}{2},\frac{3}{2}) \;\;\vee\;\;\;(\frac{3}{2},\frac{15}{2},\frac{27}{2})\)

ciąg geometryczny:
\((\frac{27}{2},\frac{9}{2},\frac{3}{2})\;\;\;\vee\;\;\;(\frac{3}{2},\frac{9}{2},\frac{27}{2})\)

[eresh]

a. Dla rosnącego ciągu arytmetycznego, który wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(0,5 \cdot 27^4\)?

\(a_1=\frac{3}{2}\\
a_2=\frac{9}{2}\\
a_3=\frac{27}{2}\\
q=3\\
a_n=a_1q^{n-1}\\
\frac{3}{2}\cdot 3^{n-1}=0,5\cdot 27^4\\
3\cdot 3^{n-1}=3^{12}\\
3^{n}=3^{12}\\
n=12\\
a_{12}=0,5\cdot 27^4\)

[eresh]

b. Ile początkowych wyrazów malejącego ciągu arytmetycznego należy wziąć, aby ich suma była największa?

\(a_1=\frac{27}{2}\\
r=-4\\
S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n\\
S_n=\frac{27-4(n-1)}{2}\cdot n\\
S_n=\frac{27-4n+4}{2}\cdot n\\
S_n=\frac{-4n^2+31n}{2}\\
S_{max}=S_4
\)