Ciąg dany jest wzorem

[avleyi]

Ciąg \((a_n)\) dany jest wzorem \(a_n= \frac{1+2+3+...+2n}{3n} \) dla \(n \ge 1\)
a. Przedstaw wzór w prostszej postaci.
b. Wykaż, że ciąg jest arytmetyczny.
c. Sprawdź, że ciąg \((a_1, a_7+2, a_{40}+22)\) jest geometryczny.

[Jerry]

\(a_n= \dfrac{1+2+3+...+2n}{3n}=\dfrac{{1+2n\over2}\cdot2n}{3n}={1\over3}+{2\over3}n=1+(n-1)\cdot{2\over3}\)
Zatem \((a_n)CA\) taki, że \(\begin{cases}a_1=1\\r={2\over3}\end{cases}\).

\(\begin{cases}a_1=1=b_1\\ a_7+2=7=b_2\\a_{40}+22=49=b_3\end{cases}\)
zatem \((b_n)CG\) taki, że \(q=7\)

Pozdrawiam

[eresh]

Ciąg \((a_n)\) dany jest wzorem \(a_n= \frac{1+2+3+...+2n}{3n} \) dla \(n \ge 1\)
a. Przedstaw wzór w prostszej postaci.
b. Wykaż, że ciąg jest arytmetyczny.
c. Sprawdź, że ciąg \((a_1, a_7+2, a_{40}+22)\) jest geometryczny.

\(a_n=\frac{\frac{1+2n}{2}\cdot 2n}{3n}=\frac{1+2n}{3}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}n\)

b)
\(a_{n+1}-a_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}(n+1)-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}n=\frac{2}{3}=r\)
ciąg jest arytmetyczny

[eresh]

Ciąg \((a_n)\) dany jest wzorem \(a_n= \frac{1+2+3+...+2n}{3n} \) dla \(n \ge 1\)

c. Sprawdź, że ciąg \((a_1, a_7+2, a_{40}+22)\) jest geometryczny.

\(a_1=1\\
a_7+2=\frac{1}{3}+\frac{14}{3}+2=7\\
a_{40}+22=\frac{1}{3}+\frac{80}{3}+22=49\)

\((a_7+2)^2=49=1\cdot 49=a_1\cdot (a_{40}+22)\)