Ciąg arytmetyczny

[avleyi]

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), w którym \(a_3=15\) oraz \(a_{11}=-17\).
a. Wyznacz pierwszy wyraz, różnicę ciągu i wzór na wyraz ogólny tego ciągu.
b. Dla jakich n zachodzi równość \(7a_n=a_1+a_2+a_3+...+a_{n-1}\)?
c. Oblicz sumę pięćdziesięciu początkowych ujemnych wyrazów ciagu \((a_n)\), które są podzielne przez 3.

[Jerry]

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), w którym \(a_3=15\) oraz \(a_{11}=-17\).
a. Wyznacz pierwszy wyraz, różnicę ciągu i wzór na wyraz ogólny tego ciągu.

\(\begin{cases}a_1+2r=15\\a_1+10r=-17\end{cases}\iff\begin{cases}a_1=23\\r=-4\end{cases}\So a_n=23+(n-1)\cdot(-4)=27-4n\wedge n\in\nn_+\)

Pozdrawiam

[Jerry]

b. Dla jakich n zachodzi równość \(7a_n=a_1+a_2+a_3+...+a_{n-1}\)?

1) \(a_n=27-4n\So S_n={23+(27-4n)\over2}\cdot n=25n-2n^2\)
2) \(7a_n=a_1+a_2+a_3+...+a_{n-1}\iff 8a_n=S_n\\
8(27-4n)=25n-2n^2\\
2n^2-57n+216=0\\
n\in\nn_+\So n=24\)

Pozdrawiam

[Jerry]

c. Oblicz sumę pięćdziesięciu początkowych ujemnych wyrazów ciagu \((a_n)\), które są podzielne przez 3.

\((a_n)=(23,19,\ldots,-1,-5,\color{blue}{-9},-13,-17,\color{blue}{-21},-25,-29,\color{blue}{-33},\ldots)\)
Ciąg "niebieskich" wyrazów jest arytmetyczny i taki, że
\(S_{50}={2\cdot(-9)+49\cdot(-12)\over2}\cdot50=-15150\)

Pozdrawiam