Suma n pocz.

[avleyi]

Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa \(- \frac{7}{4}n+ \frac{1}{2}n^2 \) dla \(n \ge 1\).
a) Podaj wzór ogólny tego ciągu.
b) Wykaż, że ciąg jest arytmetyczny.
c) Oblicz \(a_{13} + a_{14} + a_{15} + ... + a_{144}\)
d) Oblicz sumę dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych.

[eresh]

Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa \(- \frac{7}{4}n+ \frac{1}{2}n^2 \) dla \(n \ge 1\).
a) Podaj wzór ogólny tego ciągu.

\(S_n=-\frac{7}{4}n+\frac{1}{2}n^2\\
S_{n-1}=\frac{-7}{4}(n-1)+\frac{1}{2}(n-1)^2\\
a_n=S_n-S_{n-1}\\
a_n=-\frac{7}{4}n+\frac{1}{2}n^2+\frac{7}{4}(n-1)-\frac{1}{2}(n-1)^2\\
a_n=-\frac{7}{4}n+\frac{1}{2}n^2+\frac{7}{4}n-\frac{7}{4}-\frac{1}{2}(n-1)^2\\
a_n=\frac{1}{2}n^2-\frac{7}{4}-\frac{1}{2}n^2+n-\frac{1}{2}\\
a_n=n-\frac{9}{4}\)

[eresh]

Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa \(- \frac{7}{4}n+ \frac{1}{2}n^2 \) dla \(n \ge 1\).

b) Wykaż, że ciąg jest arytmetyczny.

\(a_1=S_1=-\frac{5}{4}\\
a_1=1-\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}\\\)

\(a_{n}-a_{n-1}=n-\frac{9}{4}-n+1+\frac{9}{4}=1=r\)

[eresh]

Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa \(- \frac{7}{4}n+ \frac{1}{2}n^2 \) dla \(n \ge 1\).

c) Oblicz \(a_{13} + a_{14} + a_{15} + ... + a_{144}\)

\(a_{13} + a_{14} + a_{15} + ... + a_{144}=S_{144}-S_{12}=(- \frac{7}{4}\cdot 144+ \frac{1}{2}\cdot 144^2 )-(- \frac{7}{4}\cdot 12+ \frac{1}{2}\cdot 12^2 )\)

[eresh]

Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa \(- \frac{7}{4}n+ \frac{1}{2}n^2 \) dla \(n \ge 1\).

d) Oblicz sumę dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych.

\(b_1=a_1=-\frac{5}{4}\\
b_2=a_3=\frac{3}{4}\\
b_3=a_5=\frac{11}{4}\\
S_{20}=\frac{2b_1+19R}{2}\cdot 20\\
S_{20}=\frac{-2,5+19\cdot 2}{2}\cdot 20\\
S_{20}=355\)