ciąg geometryczny

[avleyi]

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny: \(3x, \frac{9x^2}{x-1}, \frac{27x^3}{(x-1)^2}, ... \). Dla jakich wartości x:
a) ciąg jest rosnący?
b) istnieje suma wszystkich wyrazów tego ciągu?
c) suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest nie większa od x?

[eresh]

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny: \(3x, \frac{9x^2}{x-1}, \frac{27x^3}{(x-1)^2}, ... \). Dla jakich wartości x:
a) ciąg jest rosnący?

rosnący jest gdy:
\(\begin{cases}a_1>0\\q>1\end{cases}\;\;\;\vee\;\;\begin{cases}a_1<0\\q\in (0,1)\end{cases}\)

\(q=\frac{9x^2}{(x-1)3x}=\frac{3x}{x-1}\)

1.
\(a_1>0\iff x>0\\
q>1\\
\frac{3x}{x-1}>1\\
\frac{3x-x+1}{x-1}>0\\
(2x+1)(x-1)>0\\
x\in (-\infty, -\frac{1}{2})\cup (1,\infty)\;\;\;\wedge\;\;\;x>0\\
x\in (1,\infty)
\)

2.
\(a_1<0\iff x<0\\
0<q<1\\
0\frac{3x}{x-1}<1\\
0<3x(x-1)<(x-1)^2\\
3x(x-1)>0\;\;\wedge\;\;3x(x-1)-(x-1)^2<0\\
x\in (-\frac{1}{2},0)\)

odp. \(x\in (-\frac{1}{2},0)\cup (1,\infty)
\)

[eresh]

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny: \(3x, \frac{9x^2}{x-1}, \frac{27x^3}{(x-1)^2}, ... \). Dla jakich wartości x:

b) istnieje suma wszystkich wyrazów tego ciągu?

\(|q|<1\\
|\frac{3x}{x-1}|<1\\
-1<\frac{3x}{x-1}<1\)
do rozwiązania dwie nierówności (rozwiązaniem jest część wspólna)
\(\frac{3x}{x-1}<1\;\;\;\wedge\;\;\frac{3x}{x-1}>-1\)

[eresh]

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny: \(3x, \frac{9x^2}{x-1}, \frac{27x^3}{(x-1)^2}, ... \). Dla jakich wartości x:

c) suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest nie większa od x?

dziedziną nierówności będzie zbiór wyznaczony w podpunkcie b)

\(\frac{3x}{1-\frac{3x}{x-1}}\leq x\\
\frac{3x(x-1)}{x-1-3x}\leq x\\
-\frac{3x^2-3x}{2x+1}\leq x\\
x+\frac{3x^2-3x}{2x+1}\geq 0\\
\frac{2x^2+x+3x^2-3x}{2x+1}\geq 0\\
(5x^2-2x)(2x+1)\geq 0\\
...\)