Suma ciągu geometrycznego

[matmabee]

1.Suma czterech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa \({65\over81}\). Oblicz \(a_1\),jeśli \(q={2\over3}\).
2. Suma dziewięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa \(127,75\). Oblicz dziewiąty wyraz, wiedząc że \(q=2\).
3. Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym \(b_1=6,q={1\over3}\). Ile początkowych wyrazów należy zsumować, aby otrzymać \(8 { 8\over9}\)?

[eresh]

1.Suma czterech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa 65/81. Oblicz a_1,jeśli q=2/3.

\(S_4=\frac{65}{81}\\
\frac{a_1(1-q^4)}{1-q}=\frac{65}{81}\\
\frac{a_1(1-(\frac{2}{3})^4}{1-\frac{2}{3}}=\frac{65}{81}\\
a_1(1-\frac{16}{81})=\frac{65}{81}\cdot\frac{1}{3}\\
a_1\cdot \frac{65}{81}=\frac{65}{81}\cdot\frac{1}{3}\\
a_1=\frac{1}{3}\)

[eresh]

2. Suma dziewięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa 127,75. Oblicz dziewiąty wyraz, wiedząc że q=2.

\(S_9=127,75\\
\frac{a_1(1-2^9)}{1-2}=127,75\\
a_1\cdot (-511)=-127,75\\
a_1=frac{1}{4}\\
a_9=a_1q^8\\
a_9=\frac{1}{4}\cdot 256\\
a_9=64\)

[eresh]

3. Dany jest nieskończony ciąg geometryczny, w którym b_1=6,q=1/3. Ile początkowych wyrazów należy zsumować, aby otrzymać 8 i 8/9?

\(S_n=8\frac{8}{9}\\
\frac{6(1-(\frac{1}{3})^n)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{80}{9}\\
6(1-(\frac{1}{3})^n)=\frac{80}{9}\cdot ]frac{2}{3}\\
6(1-(\frac{1}{3})^n)=\frac{160}{27}\\
1-(\frac{1}{3})^n=\frac{80}{81}\\
(\frac{1}{3})^n=\frac{1}{81}\\
n=4
\)