Granica ciągu

[fafa]

Czy ten sposób obliczenia granicy ciągu jest poprawny czy należy zastosować twierdzenie o trzech ciągach?
\(\Lim_{n\to \infty } a_n=\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{ 9^n − 3^n}=\Lim_{n\to \infty }\sqrt[n]{ 9^n(1- 3^{-n})}=\Lim_{n\to \infty } 9\sqrt[n]{(1- 3^{-n})}=9 \cdot \sqrt[n]{1-0} =9\)

[radagast]

Jest poprawny

[Icanseepeace]

\( x ,\) jest najprawdopodobniej literówką, więc można go zignorować (traktuje problem tak jakby zamiast x był n), ale przejście:

\(\Lim_{x\to \infty } \)\( 9\sqrt[n]{(1- 3^{-n})}\)=\(9 \cdot \sqrt[n]{1-0}\)

już nie. Tutaj podczas liczenia granicy kompletnie ignorujesz pierwiastek.

[radagast]

\(\Lim_{x\to \infty } an \)=\(\Lim_{x\to \infty } \)\( \sqrt[n]{ 9^n − 3^n}=^1\Lim_{x\to \infty } \)\( \sqrt[n]{ 9^n(1- 3^{-n})}=^2\Lim_{x\to \infty } \)\( 9\sqrt[n]{(1- 3^{-n})}=^3 9 \cdot \sqrt[n]{1-0} =9\)

1 Prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania
2 pierwiastek z iloczynu to iloczyn pierwiastków i granica iloczynu to iloczyn granic.
3 \(1^0 \to 1\) i jeszcze własności funkcji ciągłych oraz 9*1=9

[Jerry]

Wg mnie granica z granicy nie musi być dobrze policzoną granicą (klasycznym przykładem granica ciągu Nepera) i poparłbym Icanseepeace...
A przecież skorzystanie z tw. o trzech ciągach nie jest zbyt skomplikowane...
\( 9\sqrt[n]{1- {1\over3}}\le 9\sqrt[n]{1- 3^{-n}}< 9\sqrt[n]{1- 0}\)
Pozdrawiam

[radagast]

Ale granica Nepera prowadzi do symbolu nieoznaczonego \(1^ \infty \), a tu mamy spokojnie : \(1^0\). Zatem , upieram się: zaproponowana fafę metoda jest poprawna.

[Jerry]

Zgadzam się z Tobą, ale... user powinien mieć świadomość, że metoda nie jest uniwersalna!

Pax, pax vobiscum

[radagast]

Ja jestem bardzo pokojowo nastawiona. Chcę tylko przypomnieć twierdzenie : https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzen ... %C5%BConej