Oblicz

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
avleyi
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 252
Rejestracja: 15 maja 2022, 13:41
Podziękowania: 302 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Oblicz

Post autor: avleyi »

\( \sqrt[3]{6+ \sqrt[3]{6+ \sqrt[3]{6+...} } } \)
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3458
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1895 razy

Re: Oblicz

Post autor: Jerry »

Niech
\( \sqrt[3]{6+ \sqrt[3]{6+ \sqrt[3]{6+...} } } =x>0\)
wtedy
\( \sqrt[3]{6+x } =x\iff 6+x=x^3\)
Ponieważ
\(w(x)=x^3-x-6=(x^3-2x^2)+(2x^2-4x)+(3x-6)=(x-2)(x^2+2x+3)=\\ \qquad=(x-2)\left((x+1)^2+2\right)\)
to
\(w(x)=0\iff x=2\)

Pozdrawiam
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: Oblicz

Post autor: radagast »

oznaczmy: \( a= \sqrt[3]{6+ \sqrt[3]{6+ \sqrt[3]{6+...} } } \)
po podniesieniu obu stron do potęgi 3 mamy: \( a^3= 6+ a\)
Teraz należy już tylko rozwiązać to równanie (dla ułatwienia dodam , że 2 jest jednym (a maże jedynym) z jego pierwiastków :) )
ODPOWIEDZ