Dla jakich wartości parametru, ciąg

[avleyi]

Dla jakich wartości parametru \( \alpha \) liczby \( 1, \sqrt{2}\cos\alpha, 1-2\cos^2\alpha \) są trzema początkowymi wyrazami ciągu geometrycznego \( (a_n) \)? Dla najmniejszej dodatniej wartości \( \alpha \) wyznacz sumę początkowych \(6\) wyrazów i wynik przedstaw w najprostszej postaci.

[eresh]

Dla jakich wartości parametru \( \alpha \) liczby \( 1, \sqrt{2}cos\alpha, 1-2cos^2\alpha \) są trzema początkowymi wyrazami ciągu geometrycznego \( (a_n) \)? Dla najmniejszej dodatniej wartości \( \alpha \) wyznacz sumę początkowych 6 wyrazów i wynik przedstaw w najprostszej postaci.

\((\sqrt{2}\cos \alpha)^2=1-2\cos^2\alpha\\
2\cos^2\alpha+2\cos^2\alpha=1\\
\cos^2\alpha=\frac{1}{4}\\
\cos\alpha=\frac{1}{2}\;\;\;\vee\;\;\;\cos\alpha=-\frac{1}{2}\\
\alpha\in\{\frac{\pi}{3}+2k\pi, -\frac{\pi}{3}+2k\pi,\frac{2\pi}{3}+2k\pi, \frac{4\pi}{3}+2k\pi\}\)

\(\alpha=\frac{\pi}{3}\\
a_1=1\\
a_2=\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\
q=\frac{\sqrt{2}}{2}\\
S_6=\frac{1-(\frac{\sqrt{2}}{2})^6}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\
S_6=\frac{1-\frac{1}{8}}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}\\
S_6=\frac{7}{8}\cdot\frac{2}{2-\sqrt{2}}\\
S_6=\frac{7(2+\sqrt{2}}{4(4-2)}=\frac{7(\sqrt{2}+2)}{8}\)

[avleyi]

\( (\sqrt{2}\cos \alpha)=1-2\cos^2\alpha\\ \) skad wzial sie ten zapis

[Jerry]

\( (\sqrt{2}\cos \alpha)=1-2\cos^2\alpha\\ \) skad wzial sie ten zapis

W ciągu geometrycznym \((a_1,a_2,a_3)\) zachodzi \(a_2^2=a_1\cdot a_3\)

Pozdrawiam

[eresh]

\( (\sqrt{2}\cos \alpha)=1-2\cos^2\alpha\\ \) skad wzial sie ten zapis

była pomyłka - zabrakło kwadratu
wynika to z zależności między trzema sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego (a,b,c): \(b^2=ac\)

[Icanseepeace]

Tylko tutaj trzeba uważać.
Implikacja:
\( (a,b,c) \) tworzą ciąg geometryczny \( \So \ b^2 = a \cdot c \)
nie może zostać zastąpiona przez równoważność.
Dlatego:
\( 1^o \) Jeżeli wiemy, że trzy dane liczby są wyrazami ciągu geometrycznego to śmiało możemy zapisać powyższą równość.
\( 2^o \) Jeżeli mamy sprawdzić za pomocą równości czy dane trzy liczby tworzą ciąg geometryczny to trzeba już dodać odpowiedni komentarz lub w późniejszym toku odrzucić/sprawdzić pewien przypadek.
Przykładowe wyrazy:
\( \cos (\alpha) , \cos ( \alpha) , 1 \)