Wykaż (ciągi)

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
PATRO02
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 47
Rejestracja: 16 sty 2022, 22:39
Podziękowania: 25 razy

Wykaż (ciągi)

Post autor: PATRO02 »

Wykaż, że ciągi są geometryczne:
a) \(a_n=2\cdot3^n\)
b) \(a_n=2^{-n}\)
Wiem, że ciąg jest geometryczny wtedy gdy:
\({a_2\over a_1} = {a_3\over a_2}\)
Nie umiem tego udowodnić bez podstawiania za \(n\) odpowiednio: \(1,2,3\) :(
Ostatnio zmieniony 20 lut 2022, 17:55 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa tematu i wiadomości, cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
Icanseepeace
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 434
Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 250 razy
Płeć:

Re: Wykaż (ciągi)

Post autor: Icanseepeace »

Ciąg \( a_n \) jest geometryczny wtedy gdy dla \( \textbf{każdego} \) \( n \geq 1 \) iloraz:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \]
ma stałą wartość.
Sprawdzenie tylko ilorazów:
\( \frac{a_2}{a_1} \) oraz \( \frac{a_3}{a_2} \)
jest mocno niewystarczające.
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3459
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Wykaż (ciągi)

Post autor: Jerry »

Icanseepeace pisze: 20 lut 2022, 16:54 Ciąg \( a_n \) jest geometryczny wtedy gdy dla \( \textbf{każdego} \) \( n \geq 1 \) iloraz: \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \) ma stałą wartość.
Praktycznie:
Oba ciągi nie przyjmują wartości zerowych i
  1. \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2\cdot3^{n+1}}{2\cdot3^n}=3=\text{ const}\)
  2. \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{-(n+1)}}{2^{-n}}=2^{-1}=\text{ const}\)
zatem są ciągami geometrycznymi o ilorazach, odpowiednio, \(3\) i \({1\over2}\)

Pozdrawiam
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Wykaż (ciągi)

Post autor: kerajs »

Ciąg \( \left\{ a_n \right\} \) jest geometryczny jeśli \( a_n=a_1q^{n-1} \)
a)
\(a_n=2\cdot3^n\\
a_n=6\cdot 3^{n-1}\)

b)
\(a_n=2^{-n}\\
a_n=(\frac12)^n\\
a_n=\frac12 \cdot (\frac12)^{n-1}

\)
ODPOWIEDZ