CIĄGI

[PATRO02]

Ciąg \((a,b,c\)) jest geometryczny i \(a+b+c=10,\) zaś ciąg \((a-5,b-4,c-11)\) jest arytmetyczny. Oblicz \(a,b,c\).

Co robię źle?
\(a_1+a_1q+a_1q^2=10\\
a_1-5,a_1q-4,a_1q^2-11\)
Wiemy, że ciąg: \(a_1-5,a_1q-4,a_1q^2-11\) jest arytmetyczny, więc korzystamy z zależności:

\(2a_1q-8=a_1-5+a_1q^2-11\\
-a_1q^2+2a_1q-a_1=-8\)
Układ równań:
\(\begin{cases}a_1+a_1q+a_1q^2=10\\
-a_1q^2+2a_1q-a_1=-8\end{cases}\)
Wyłączam wspólny czynnik przed nawias
\(\begin{cases}a1(1+q+q^2)=10\\
a_1(-1+2q-q^2)=-8\end{cases}\)
\(a_1\) się skraca i mnożę na krzyż.

\(-8(1+q+q^2)=10(-1+2q-q^2)\\
-8q^2-8q-8=-10q^2+20q-10\\
2q^2-28q+2=0\)
\(\Delta_q= 784-16=768\) NIE PIERWIASTKUJE SIĘ!
Co jest źle?

[Icanseepeace]

\( \sqrt{768} = 16 \sqrt{3} \)
\( q = 7 \pm 4 \sqrt{3} \)
Wynik nie zawsze musi być liczbą naturalną.
P.S.

Układ równań:
a1+a1q+a1q^2=10
-a1q^2+2a1q-a1=-8

W tym momencie możesz łatwo wyznaczyć:
\( a_1q = b = \frac{2}{3} \)

[PATRO02]

Kurczaki faktycznie. Czaje, że nie musi być naturalną, ale pierwszy raz się w ciągach spotkałem się z liczbą która nie jest naturalna. Zdziwiłem się. Dziękuję ci bardzo!

[Jerry]

Ciąg \((a,b,c\)) jest geometryczny i \(a+b+c=10,\) zaś ciąg \((a-5,b-4,c-11)\) jest arytmetyczny. Oblicz \(a,b,c\).

Idąc po linii najmniejszego oporu (własność CA wykorzystałaś/eś):
\(\begin{cases}(a,b,c)CG\\a+b+c=10\\(a-5,b-4,c-11)CA\end{cases}\So\begin{cases}ac=b^2\\a+b+c=10\\2(b-4)=(a-5)+(c-11)\end{cases}\)
Dodając stronami równania (2) i (3) wywnioskujemy, że \(b={2\over3}\), co wskazał Icanseepeace. Pozostanie do rozwiązania układ
\(\begin{cases}ac={4\over9}\\c={28\over3}-a\end{cases}\So a\left({28\over3}-a\right)={4\over9}\)
i do rozwiązania blisko

Pozdrawiam