Ciągi i sześciokąty
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
klaudia2137
- Witam na forum
- Posty: 2
- Rejestracja: 30 gru 2021, 10:42
- Podziękowania: 2 razy
Ciągi i sześciokąty
Dany jest sześciokąt foremny o boku a. Połączono środki boków tego sześciokąta tworząc kolejny sześciokąt i czynność tą powtarzano nieskończoną ilość razy. Oblicz pola wszystkich sześciokątów.
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Ciągi i sześciokąty
Widać tu piękną rekurencję. Wystarczy zrobić pierwszy krok, a potem to się będzie kopiować.
Sześciokąt foremny o boku \(a\) ma pole \(6\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2.\)
Po połączeniu środków sąsiednich boków wyliczamy kwadrat nowego boku \(b^2\) z twierdzenia cosinusów:\[b^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2-2\frac{a^2}{2}\frac{a^2}{2}\cos 120^{\circ}=\frac{a^2}{2}\left(1-\cos 120^{\circ}\right)=\frac{3}{4}a^2.\]
Pole nowego sześciokąta:\[\dfrac{3\sqrt{3}}{2}b^2=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2\cdot\dfrac{3}{4}.\]
Widzimy więc, że ciąg pól jest geometryczny z ilorazem \(\frac{3}{4}\). Tak więc, jeśli \(P_1\) będzie polem pierwszego sześciokąta, to pole \(P_n\) \(n\)-tego sześciokąta wynosi\[P_n=P_1\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}=2\sqrt{3}a^2\left(\frac{3}{4}\right)^n.\]Ponieważ\[\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^n=0,\]to ciąg pól zmierza do zera. Warto zrobić rysunek. Może uda mi się napisać program i pokazać wynik.
Sześciokąt foremny o boku \(a\) ma pole \(6\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2.\)
Po połączeniu środków sąsiednich boków wyliczamy kwadrat nowego boku \(b^2\) z twierdzenia cosinusów:\[b^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2-2\frac{a^2}{2}\frac{a^2}{2}\cos 120^{\circ}=\frac{a^2}{2}\left(1-\cos 120^{\circ}\right)=\frac{3}{4}a^2.\]
Pole nowego sześciokąta:\[\dfrac{3\sqrt{3}}{2}b^2=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2\cdot\dfrac{3}{4}.\]
Widzimy więc, że ciąg pól jest geometryczny z ilorazem \(\frac{3}{4}\). Tak więc, jeśli \(P_1\) będzie polem pierwszego sześciokąta, to pole \(P_n\) \(n\)-tego sześciokąta wynosi\[P_n=P_1\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}=2\sqrt{3}a^2\left(\frac{3}{4}\right)^n.\]Ponieważ\[\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^n=0,\]to ciąg pól zmierza do zera. Warto zrobić rysunek. Może uda mi się napisać program i pokazać wynik.