szereg geometryczny - zadanie tekstowe

[mikaa]

Boki trójkąta równobocznego ABC podzielono punktami P,R,S w ten sposób, że trójkąt PRS jest równoboczny, a trójkąt APS jest prostokątny. W identyczny sposób podzielono boki trójkąta PRS itd. Oblicz nieskończoną sumę pól wszystkich trójkątów równobocznych otrzymanych w ten sposób.

[panb]

Obserwacja 1: Trójkąty ASP, BSR i CRP są przystające.

• wszystkie są prostokątne: \(\angle APS=30^{ \circ}, \angle SPR=60^{ \circ} \So \angle CPR=180^{ \circ}-(60^{ \circ}+30^{ \circ})=90^{ \circ} \) itd.

• mają jednakowe kąty, więc są podobne

• w każdym z nich jednym bokiem jest bok trójkąta równobocznego

\( \frac{|PS|}{|AS|}=\tg60^{ \circ}=\sqrt3 \So |AS|= \frac{|PS|}{\sqrt3} \\
P_{\Delta ASP}= \frac{|AS| \cdot |PS|}{2}= \frac{|PS|^2}{2\sqrt3} = \frac{|PS|^2\sqrt3}{6}=P_{\Delta BSR}=P_{\Delta CRP} \\ P_{\Delta PSR}= \frac{|PS|^2\sqrt3}{4} \\
P_{\Delta ABC}= \frac{|AB|^2\sqrt3}{4} \)

Mamy
\[3 \cdot \frac{|PS|^2\sqrt3}{6}+ \frac{|PS|^2\sqrt3}{4}=\frac{|AB|^2\sqrt3}{4}\iff 3 \cdot \frac{|PS|^2\sqrt3}{4}= \frac{|AB|^2\sqrt3}{4} \\ 3P_1=P_0 \So P_1= \frac{1}{3}P_0 \]
gdzie \(P_0\) pole początkowego trójkąta (ABC), \(P_1\) - pole pierwszego trójkąta utworzonego w opisany w zadaniu sposób.

Kolejne trójkąty powstaną w ten sam sposób, a pole każdego następnego będzie 3 razy mniejsze od poprzedniego.
Pola \(P_0, P_1, P_2, \ldots \) tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \(q= \frac{1}{3} \).

W takim razie \[P_0+P_1+P_2+\ldots = \frac{P_0}{1- \frac{1}{3} }= \frac{3}{2}P_0= \frac{3|AB|^2\sqrt3}{8} \]