oblicz granicę ciągu 2

[anilewe_MM]

\(a_n=\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\frac{3}{n^2+3}+...+\frac{n}{n^2+n}\)

[Jerry]

Jestem w niedoczasie, zatem hint: zauważ, że sumę tych ułamków można zapisać jako sumę \({1+n\over2}\cdot n\) ułamków o licznikach równych \(1\). Wśród nich najmniejszy jest ostatni a największy - pierwszy... i dalej z tw. o trzech ciągach

Pozdrawiam

[panb]

\(a_n=\frac{1}{n^2+1}+\frac{2}{n^2+2}+\frac{3}{n^2+3}+...+\frac{n}{n^2+n}\)

@Jerry miał na myśli (chyba), coś takiego:
\[ \frac{1+2+\ldots+n}{n^2+n}\le a_n \le \frac{1+2+\ldots +n}{n^2+1} \]

[Jerry]

Nie do końca, wyświetliło mi się
\(a_n={1\over n^2+1}+\underbrace{{1\over n^2+2}+{1\over n^2+2}}_{2\text{ ułamki}}+\ldots+\underbrace{{1\over n^2+n}+\ldots+{1\over n^2+n}}_{n\text{ ułamków}}\)
i ułamków jest
\(1+2+\ldots+n={1+n\over2}\cdot n={n+n^2\over2}\)
Zatem
\({n+n^2\over2}\cdot{1\over n^2+n}\le a_n\le \cdot{n+n^2\over2}\cdot{1\over n^2+1}\)
co jest równoważne z zapisem panb
Tak, czy inaczej
$$\Limn a_n={1\over2}$$

Pozdrawiam