granica ciągu z parametrem

[anilewe_MM]

oblicz granicę ciągu
\(a_n=\frac{(k-2)n+1}{(k^2-2k-3)n-2}\)

są jeszcze podpunkty, ale z nimi sobie sama poradzę, jak będę znała granice

[Jerry]

Standardowo:
\(\Limn \frac{(k-2)n+1}{(k^2-2k-3)n-2}=\Limn {n\over n}\cdot \frac{k-2+{1\over n}}{k^2-2k-3-{2\over n}}={k-2\over k^2-2k-3}\)
o ile \(k^2-2k-3\ne0\)

Dla \(k\in\{-1,3\}\) sprawdź "ręcznie"

Pozdrawiam

[panb]

oblicz granicę ciągu
\(a_n=\frac{(k-2)n+1}{(k^2-2k-3)n-2}\)

są jeszcze podpunkty, ale z nimi sobie sama poradzę, jak będę znała granice

granica ciągów, które mają w liczniku i mianowniku wielomiany jest łatwa do policzenia i jest równa:

1. \(0 \)- jeśli stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia mianownika,
2. \(\infty\) (z plusem lub minusem) - jeśli stopień licznika jest większy
3. ilorazowi współczynników przy najwyższych potęgach - jeśli te stopnie są równe

Tutaj mamy przypadek 3, więc
\[ \Lim_{n\to \infty} a_n= \frac{k-2}{k^2-2k-3} = \frac{k-2}{(k+1)(k-3)} \]

Teraz można rozważać różne przypadki, ale to już zrób osobiście...