oblicz granicę ciągu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
anilewe_MM
- Czasem tu bywam
- Posty: 137
- Rejestracja: 12 paź 2021, 17:26
- Podziękowania: 578 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
oblicz granicę ciągu
\(a_n=(1-\frac{2}{2\cdot3})\cdot(1-\frac{2}{3\cdot4})\cdot(1-\frac{2}{4\cdot5})\cdot...\cdot(1-\frac{2}{(n+1)\cdot(n+2)})\)
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3512
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1923 razy
Re: oblicz granicę ciągu
Zauważ, że \(k\)-ty nawias ma postać:
\(\big(1-{2\over(k+1)(k+2)}\big)={k^2+3k+2-2\over(k+1)(k+2)}={k(k+3)\over(k+1)(k+2)}\)
zatem
\(a_n={1\cdot4\over2\cdot3}\cdot{2\cdot5\over3\cdot4}\cdot{3\cdot6\over4\cdot6}\cdot\ldots\cdot{n\cdot(n+3)\over(n+1)\cdot(n+2)}={1\over3}\cdot{n+3\over n+1} \)
bo się pozostałe czynniki poskreślają (rozpisz sobie więcej tych ułamków)... zatem
\(\Limn a_n={1\over3}\)
Pozdrawiam
\(\big(1-{2\over(k+1)(k+2)}\big)={k^2+3k+2-2\over(k+1)(k+2)}={k(k+3)\over(k+1)(k+2)}\)
zatem
\(a_n={1\cdot4\over2\cdot3}\cdot{2\cdot5\over3\cdot4}\cdot{3\cdot6\over4\cdot6}\cdot\ldots\cdot{n\cdot(n+3)\over(n+1)\cdot(n+2)}={1\over3}\cdot{n+3\over n+1} \)
bo się pozostałe czynniki poskreślają (rozpisz sobie więcej tych ułamków)... zatem
\(\Limn a_n={1\over3}\)
Pozdrawiam