dowod

[puxux]

Udowodnij, że w ciągu geometrycznym o parzystej liczbie wyrazów stosunek sumy wyrazów stojących na miejscach parzystych do sumy wyrazów stojących na miejscach nieparzystych jest równy ilorazowi tego ciągu

[radagast]

\( \frac{a_1}{1-q^2} \) - suma wyrazów stojących na miejscach nieparzystych
\( \frac{a_1 q}{1-q^2} \) - suma wyrazów stojących na miejscach parzystych
No to jak się drugie podzieli przez pierwsze ....

[Jerry]

Udowodnij, że w ciągu geometrycznym o parzystej liczbie wyrazów stosunek sumy wyrazów stojących na miejscach parzystych do sumy wyrazów stojących na miejscach nieparzystych jest równy ilorazowi tego ciągu

Dla ciągu \((a_n)=(a,aq,aq^2,aq^3,\ldots, aq^{2n-1})\), gdzie \(n\) jest liczbą całkowitą dodatnią
geometrycznymi są:
\((b_n)=(aq, aq^3,\ldots,aq^{2n-1})\)
oraz
\((c_n)=(a, aq^2,\ldots,aq^{2n-2})\)
i w każdym z nich jest \(n\) wyrazów oraz \(q_b=q_c=q^2\)
Zatem, dla \(q\ne1\), mamy
\({S_n^b\over S_n^c}=\frac{aq\cdot{1-(q^2)^n\over 1-q^2}}{a\cdot{1-(q^2)^n\over 1-q^2}}=q\)
a dla \(q=1\) sumy są równe i ich iloraz jest jedynką, też prawda!

Pozdrawiam

[radagast]

Nie doczytałam , ze to ciąg o skończonej liczbie wyrazów

[panb]

Udowodnij, że w ciągu geometrycznym o parzystej liczbie wyrazów stosunek sumy wyrazów stojących na miejscach parzystych do sumy wyrazów stojących na miejscach nieparzystych jest równy ilorazowi tego ciągu

Niech\( \{a, aq, aq^2, aq^3, \ldots, aq^{2n-2}, aq^{2n-1} \}\) będzie ciągiem, o którym mowa w zadaniu.
Suma wyrazów o numerach parzystych \(S_p=aq+aq^3+\ldots+aq^{2n-1}=aq \left( 1+q^2+\ldots+q^{2n-2}\right)=q\cdot a\left( 1+q^2+\ldots+q^{2n-2}\right) \)
Suma wyrazów o numerach nieparzystych \(S_n=a+aq^2+\ldots+aq^{2n-2}=a\left( 1+q^2+\ldots+q^{2n-2}\right)\)
Jak widać \(S_p=q\cdot S_n \So \frac{S_p}{S_n}=q \), co należało dowieść.