Suma ciągu arytmetycznego.

[Januszgolenia]

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) suma \(S_k\) początkowych \(k\) wyrazów jest równa sumie \(S_n\) początkowych \(n\) wyrazów (\(n>k\)). Wykaż, że suma \(S_{n+k}\) początkowych \(n+k\) wyrazów tego ciągu jest równa zero.

[eresh]

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) suma \(S_k\) początkowych k wyrazów jest równa sumie \(S_n\) początkowych n wyrazów (n>k). Wykaż, że suma \(S_{n+k}\) początkowych n+k wyrazów tego ciągu jest równa zero.

\(S_n=S_k\\
\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n=\frac{2a_1+(k-1)r}{2}k\\
2a_1n+(n^2-n)r=2a_1k+(k^2-k)r\\
2a_1(n-k)+r(n^2-n-k^2+k)=0\\
2a_1(n-k)+r((n-k)(n+k)-(n-k))=0\\
2a_1(n-k)+r(n-k)(n+k-1)=0\\
(n-k)(2a_1+r(n+k-1)=0\\
2a_1+r(n+k-1)=0\)

\(S_{n+k}=\frac{2a_1+(n+k-1)r}{2}\cdot (n+k)=\frac{0}{2}\cdot (n+k)=0\)