zadanie ciągi

[Mafmayks]

cześć wytłumaczyłby mi ktoś zadanie:

trzy rozne liczby a,b,c tworzą w podanej kolejnosci ciag arytmetyczny, natomiast liczby a,d,c tworza w podanej kolenosci c.geometryczny. wyrazy obu ciagow sa dodatnie . Suma ktorego ciagu jest wieksza?

ale od momentu, gdy po obliczeniu b= a+c/2 d= \sqrt{ca} porównujemy te liczby ze sobą i wychodzi ze b jest wieksze

[eresh]

cześć wytłumaczyłby mi ktoś zadanie:

trzy rozne liczby a,b,c tworzą w podanej kolejnosci ciag arytmetyczny, natomiast liczby a,d,c tworza w podanej kolenosci c.geometryczny. wyrazy obu ciagow sa dodatnie . Suma ktorego ciagu jest wieksza?

ale od momentu, gdy po obliczeniu b= a+c/2 d= \sqrt{ca} porównujemy te liczby ze sobą i wychodzi ze b jest wieksze

\(2b=a+c\\
d^2=ac\\
S_a=a+b+c=a+c+b\\
S_g=a+d+c=a+c+d\)
o tym która suma jest większa decydują wyrazy b i d
\(b=\frac{a+c}{2}\\
d=\sqrt{ac}\\

\frac{a+c}{2}>\sqrt{ac}\)
podnosimy stronami do kwadratu (można, bo obie strony są dodatnie)
\(\frac{a^2+2ac+c^2}{4}>ac\\
a^2+2ac+c^2>4ac\\
a^2-2ac+c^2>0\\
(a-c)^2>0\)
ta nierówność jest spełniona przez dowolne różne liczby a i c, zatem \(\frac{a+c}{2}>\sqrt{ac}\) również jest prawdziwa, więc \(b>d\)