Pomocy ciągi

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
aramila
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 27
Rejestracja: 17 sty 2021, 13:02
Podziękowania: 28 razy
Płeć:

Pomocy ciągi

Post autor: aramila » 13 kwie 2021, 14:10

Dane są trzy liczby tworzące ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa (-49). Jeśli do tych liczb dodamy odpowiednio 8,10,19 to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Wyznacz te liczby
:!: :!:

Icanseepeace
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 67
Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 38 razy
Płeć:

Re: Pomocy ciągi

Post autor: Icanseepeace » 13 kwie 2021, 15:31

\( a,b,c \) - szukane liczby.
Suma liczb jest równa -49:
\( a + b + c = -49 \)
Liczby tworzą ciąg geometryczny:
\( b^2 = ac \)
Jeżeli do tych liczb dodamy 8,10,19 (wtedy otrzymujemy liczby \( a + 8 , b + 10 , c + 19 \)) to otrzymamy ciąg arytmetyczny:
\( 2b + 20 = a + c + 27 \)
Trzy równania i trzy niewiadome.
\( \begin{cases}a + b + c = -49\\ b^2 = ac\\ 2b + 20 = a + c + 27 \end{cases} \)
z pierwszego i trzeciego równania można wyznaczyć \( b = -14 \)
więc układ równań redukuje się do:
\( \begin{cases} a + c = -35 \\ ac = 196 \end{cases} \)
Dalej możesz wykorzystać wzory Viete'a lub też wyznaczyć z pierwszego równania zmienną a lub c i otrzymają wartość wstawić do drugiego równania i rozwiązać otrzymane równanie kwadratowe.
Ostatecznie \( (a = -28 \wedge c = -7) \vee (a = -7 \wedge c = -28) \)