ciągi pomocy

[aramila]

O liczbach \(a ,b, c\) wiemy, że ciąg \((a,b,c)\) jest arytmetyczny i \(a+c=10\), zaś ciąg \((a+1, b+4, c+19)\) jest geometryczny. Wyznacz \(a,b,c\).

[eresh]

O liczbach a ,b, c wiemy, że ciąg (a,b,c) jest arytmetyczny i a+c=10, zaś ciąg (a+1, b+4, c+19) jest geometryczny. Wyznacz a,b,c.

\(2b=a+c\\
a+c=10\\
2b=10\\
b=5\\
10=a+c\\
c=10-a\)

\((b+4)^2=(a+1)(c+19)\\
81=(a+1)(10-a+19)\\
81=(a+1)(-a+29)\\
81=-a^2+28a+29\\
-a^2+28a-52a=0\\
a=26\;\;\;\vee\;\;\;a=2
\)

\(a=26\;\;\;b=5\;\;\;c=-16\\
a=2\;\;\;b=5\;\;\;c=8\)

[Icanseepeace]

O liczbach a ,b, c wiemy, że ciąg (a,b,c) jest arytmetyczny i a+c=10

\( 2b = a + c \wedge a + c = 10 \So 2b = 10 \So b = 5 \)

zaś ciąg (a+1, b+4, c+19) jest geometryczny.

\( (b + 4)^2 = (a+1)(c+19) \wedge b = 5 \So (a+1)(c+19) = 81 \)
Mamy układ równań:
\(\begin{cases}(a+1)(c+19) = 81\\a+c = 10\end{cases} \)
\( (11 - c)(c + 19) = 81 \)
jest to równanie kwadratowe które zostawiam do samodzielnego rozwiązania dowolna metodą.
Ostatecznie:
\( c = 8 \vee c = -16 \)
i szukane liczby:
\( (a,b,c) = (2 , 5 , 8 ) \vee (a,b,c) = (26 , 5 , - 16) \)