Ciąg nieskończony

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Mixer63
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 24 lut 2021, 09:48
Płeć:

Ciąg nieskończony

Post autor: Mixer63 » 24 lut 2021, 09:51

Ciąg \((a_n)\) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym, którego wyrazy spełniają warunek:
\( \begin{cases} a_5 − a_1 = 45\\
a_4 + a_2 = 30\end{cases} \)

a) Wyznacz ten ciąg.
b) Oblicz sumę siedmiu początkowych wyrazów tego ciągu.
Ostatnio zmieniony 24 lut 2021, 12:25 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa wiadomości, cała "matematyka" w [tex] [/tex]

janusz55
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 503
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Otrzymane podziękowania: 153 razy

Re: Ciąg nieskończony

Post autor: janusz55 » 24 lut 2021, 11:36

\( \begin{cases} a\cdot q^4 - a = 45 \\ a\cdot q^3 +a\cdot q =30 \end{cases} \)

\( a =..., \ \ q = ..., \ \ |q| < 1. \)

\( a,\ \ a\cdot q,\ \ a\cdot q^2, \ \ ..., \ \ a\cdot q^{n}, ..., \ \ |q|<1 \)

\( S_{7} = a + a\cdot q + a\cdot q^2 + a\cdot q^3 + a\cdot q^4 + a\cdot q^5 + a\cdot q^6 = a\cdot \frac{1 -q^7}{1-q}.\)

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1240
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 10 razy
Otrzymane podziękowania: 597 razy

Re: Ciąg nieskończony

Post autor: Jerry » 24 lut 2021, 12:37

Z układu
\( \begin{cases} a_5 − a_1 = 45\\
a_4 + a_2 = 30\end{cases} \)

wynika równanie
\( \frac{ a_5 − a_1}{a_4 + a_2} = {45\over30}\\
\frac{ a_1q^4 − a_1}{a_1q^3 + a_1q} = {3\over2}\\
\frac{ a_1(q^2 − 1)(q^2+1)}{a_1q(q^2+1)} = {3\over2}\\
\frac{ q^2 − 1}{q} = {3\over2}\\
q=2\vee q=-{1\over2}\)

skąd blisko do odpowiedzi...

Pozdrawiam

[edited] oba rozwiązania są poprawne! janusz55: z treści zadania nie wynika konieczność \(|q|<1\)
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .

janusz55
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 503
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Otrzymane podziękowania: 153 razy

Re: Ciąg nieskończony

Post autor: janusz55 » 24 lut 2021, 15:07

Biorąc pod uwagę zbieżność nieskończonego szeregu geometrycznego wypada uwzględnić warunek \( |q|<1 \)

W tym zadaniu ten warunek jest niepotrzebny.

Mamy do obliczenia tylko sumę siedmiu jego wyrazów.