Ciąg nieskończony

[Mixer63]

Ciąg \((a_n)\) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym, którego wyrazy spełniają warunek:
\( \begin{cases} a_5 − a_1 = 45\\
a_4 + a_2 = 30\end{cases} \)
a) Wyznacz ten ciąg.
b) Oblicz sumę siedmiu początkowych wyrazów tego ciągu.

[janusz55]

\( \begin{cases} a\cdot q^4 - a = 45 \\ a\cdot q^3 +a\cdot q =30 \end{cases} \)

\( a =..., \ \ q = ..., \ \ |q| < 1. \)

\( a,\ \ a\cdot q,\ \ a\cdot q^2, \ \ ..., \ \ a\cdot q^{n}, ..., \ \ |q|<1 \)

\( S_{7} = a + a\cdot q + a\cdot q^2 + a\cdot q^3 + a\cdot q^4 + a\cdot q^5 + a\cdot q^6 = a\cdot \frac{1 -q^7}{1-q}.\)

[Jerry]

Z układu
\( \begin{cases} a_5 − a_1 = 45\\
a_4 + a_2 = 30\end{cases} \)
wynika równanie
\( \frac{ a_5 − a_1}{a_4 + a_2} = {45\over30}\\
\frac{ a_1q^4 − a_1}{a_1q^3 + a_1q} = {3\over2}\\
\frac{ a_1(q^2 − 1)(q^2+1)}{a_1q(q^2+1)} = {3\over2}\\
\frac{ q^2 − 1}{q} = {3\over2}\\
q=2\vee q=-{1\over2}\)
skąd blisko do odpowiedzi...

Pozdrawiam

[edited] oba rozwiązania są poprawne! janusz55: z treści zadania nie wynika konieczność \(|q|<1\)

[janusz55]

Biorąc pod uwagę zbieżność nieskończonego szeregu geometrycznego wypada uwzględnić warunek \( |q|<1 \)

W tym zadaniu ten warunek jest niepotrzebny.

Mamy do obliczenia tylko sumę siedmiu jego wyrazów.