Granica ciągu z pierwiastkami - gdzie popełniam błąd?

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
maks0410
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 14
Rejestracja: 01 wrz 2018, 19:49
Podziękowania: 5 razy
Płeć:

Granica ciągu z pierwiastkami - gdzie popełniam błąd?

Post autor: maks0410 » 31 sty 2021, 19:36

Cześć,
nie mam problemu z policzeniem granicy ciągu z pierwiastkami przez przemnożenie przez sprzężenie, jednak nie rozumiem dlaczego jest to konieczne. Nie możemy od razu podstawić n, bo otrzymamy nieskończoność - nieskończoność, czyli symbol nieoznaczony. Ja jednak patrzę na to zadanie tak:
\( \Lim_{x\to \infty } \left( \sqrt{4n^2 + 3n - 2} - 2n + 7 \right) \)
Najzwyczajniej w świecie wyciągam najwyższą potęgę przed nawias tak jak w innych zadaniach, więc
\( \Lim_{x\to \infty } \left( n\sqrt{4 + \frac{3}{n} - \frac{2}{n^2} } - 2n + 7 \right) \)
\(\frac{3}{n}\) dąży do 0, podobnie \(\frac{2}{n^2}\) czyli z pierwiastka wychodzi 2
\( \Lim_{x\to \infty } \left( 2n - 2n + 7 \right) \)
Czyli nie odejmuję tutaj żadnych nieskończoności a jedynie 2n - 2n i wychodzi 7. Wiem jednak, że jest to rozwiązanie niepoprawne, nie wiem tylko dlaczego. Czy gdy podstawiamy to musimy podstawić wszystko na raz i nie możemy zostawić już żadnego n? Mam wrażenie, że w jednych zadaniach można podstawić n tylko w pewnych miejscach, a w innych nie - dlatego bardzo proszę o wytłumaczenie.

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 4780
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 14 razy
Otrzymane podziękowania: 1879 razy
Płeć:

Re: Granica ciągu z pierwiastkami - gdzie popełniam błąd?

Post autor: panb » 31 sty 2021, 19:47

No i wyszłoby 7, a wynik jest \(\frac{31}{4}\)

radagast
Guru
Guru
Posty: 17230
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 35 razy
Otrzymane podziękowania: 7301 razy
Płeć:

Re: Granica ciągu z pierwiastkami - gdzie popełniam błąd?

Post autor: radagast » 31 sty 2021, 19:50

nieskończoność odjąć nieskończoność nie musi być zerem
W szczególności \( \Lim_{n\to \infty } \left( n\sqrt{4 + \frac{3}{n} - \frac{2}{n^2} } - 2n \right) \neq 0 \)

maks0410
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 14
Rejestracja: 01 wrz 2018, 19:49
Podziękowania: 5 razy
Płeć:

Re: Granica ciągu z pierwiastkami - gdzie popełniam błąd?

Post autor: maks0410 » 31 sty 2021, 19:53

radagast pisze:
31 sty 2021, 19:50
nieskończoność odjąć nieskończoność nie musi być zerem
Oczywiście, jak najbardziej się z tym zgadzam. Tylko że w moim rozumowaniu nie odejmuję nieskończoności, a operuję na symbolach, odejmuję tylko 2n - 2n.

radagast
Guru
Guru
Posty: 17230
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 35 razy
Otrzymane podziękowania: 7301 razy
Płeć:

Re: Granica ciągu z pierwiastkami - gdzie popełniam błąd?

Post autor: radagast » 31 sty 2021, 19:56

patrz wyżej (uzupełniłam)