zbieżność ciągu, dowód

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Amtematiksonn
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 243
Rejestracja: 04 gru 2019, 18:54
Podziękowania: 132 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

zbieżność ciągu, dowód

Post autor: Amtematiksonn » 31 paź 2020, 14:59

Wykazać zbieżność ciągu (tw. o ciągu monotonicznym i ograniczonym):
\(a_n = \frac{1}{1 + 3^1} + \frac{1}{2 + 3^2} + ... + \frac{1}{n + 3^n} \)
wyjaśni mi ktoś czemu górne ograniczenie wynosi tutaj 1/2 a nie 1/4 ?

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 4780
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 14 razy
Otrzymane podziękowania: 1879 razy
Płeć:

Re: zbieżność ciągu, dowód

Post autor: panb » 31 paź 2020, 15:51

Amtematiksonn pisze:
31 paź 2020, 14:59
Wykazać zbieżność ciągu (tw. o ciągu monotonicznym i ograniczonym):
\(a_n = \frac{1}{1 + 3^1} + \frac{1}{2 + 3^2} + ... + \frac{1}{n + 3^n} \)
wyjaśni mi ktoś czemu górne ograniczenie wynosi tutaj 1/2 a nie 1/4 ?
Górne nie może być równe 1/4, bo \(\frac{1}{1 + 3^1}= \frac{1}{4} \), a jeszcze dodajemy nieujemne wyrazy.

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 4780
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 14 razy
Otrzymane podziękowania: 1879 razy
Płeć:

Re: zbieżność ciągu, dowód

Post autor: panb » 31 paź 2020, 15:57

Amtematiksonn pisze:
31 paź 2020, 14:59
Wykazać zbieżność ciągu (tw. o ciągu monotonicznym i ograniczonym):
\(a_n = \frac{1}{1 + 3^1} + \frac{1}{2 + 3^2} + ... + \frac{1}{n + 3^n} \)
wyjaśni mi ktoś czemu górne ograniczenie wynosi tutaj 1/2 a nie 1/4 ?
Natomiast
\( \displaystyle a_n = \frac{1}{1 + 3^1} + \frac{1}{2 + 3^2} + ... + \frac{1}{n + 3^n} \le \frac{1}{3^1} + \frac{1}{3^2} + \ldots + \frac{1}{3^n}= \frac{1}{3} \cdot \frac{1- \frac{1}{3^n} }{1- \frac{1}{3} } = \frac{1}{2} \cdot \left( 1- \frac{1}{3^n} \right)\le \frac{1}{2} \)

Amtematiksonn
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 243
Rejestracja: 04 gru 2019, 18:54
Podziękowania: 132 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: zbieżność ciągu, dowód

Post autor: Amtematiksonn » 31 paź 2020, 17:45

skąd się wziął ten ciąg \(1/3^2 + 1/3^2\) + ... ?

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 4780
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 14 razy
Otrzymane podziękowania: 1879 razy
Płeć:

Re: zbieżność ciągu, dowód

Post autor: panb » 31 paź 2020, 18:21

Z pominięcia w mianowniku liczb 1, 2, ...
Mianownik przez to zmalał, czyli ułamek wzrósł.