Granica

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Wiktoria5698
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 17
Rejestracja: 30 lis 2017, 19:36
Podziękowania: 9 razy

Granica

Post autor: Wiktoria5698 » 25 paź 2020, 00:57

Ciąg \(a_n\) jest zdefiniowany rekurencyjnie \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n} }{2} \) ma granicę \(g\), to jest ona równa \( \sqrt{2} \). Udowodnij, że ten ciąg rzeczywiście ma granicę.

radagast
Guru
Guru
Posty: 17230
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 35 razy
Otrzymane podziękowania: 7301 razy
Płeć:

Re: Granica

Post autor: radagast » 25 paź 2020, 10:37

Zauważ , że
1) wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie (potrzebne do udowodnienia dwóch następnych podpunktów)
2) od pewnego miejsca jest malejący
3) jest ograniczony z dołu

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1240
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 10 razy
Otrzymane podziękowania: 597 razy

Re: Granica

Post autor: Jerry » 25 paź 2020, 10:45

... i trzeba by teraz rozstrzygnąć
\(g = \frac{g + \frac{2}{g} }{2} \) w liczbach dodatnich

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .