Granica

[Wiktoria5698]

Ciąg \(a_n\) jest zdefiniowany rekurencyjnie \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n} }{2} \) ma granicę \(g\), to jest ona równa \( \sqrt{2} \). Udowodnij, że ten ciąg rzeczywiście ma granicę.

[radagast]

Zauważ , że
1) wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie (potrzebne do udowodnienia dwóch następnych podpunktów)
2) od pewnego miejsca jest malejący
3) jest ograniczony z dołu

[Jerry]

... i trzeba by teraz rozstrzygnąć
\(g = \frac{g + \frac{2}{g} }{2} \) w liczbach dodatnich

Pozdrawiam