ciąg arytmetyczny

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
inter
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 113
Rejestracja: 01 cze 2016, 07:58
Podziękowania: 7 razy
Otrzymane podziękowania: 2 razy

ciąg arytmetyczny

Post autor: inter » 02 lip 2020, 09:00

Ze zbioru liczb 1,2,3,...,100 usuwamy losowo 10 liczb. Wykaż że spośród pozostałych 90 liczb możemy zawsze wybrać 10 liczb które są liczbami ciągu arytmetycznego.

Awatar użytkownika
Jerry
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 343
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 159 razy

Re: ciąg arytmetyczny

Post autor: Jerry » 02 lip 2020, 11:03

Niech \(x_1<x_2<\cdots<x_{10}\) będą usuniętymi liczbami, ponadto \(x_0=0\). Wtedy:

1. Jeśli istnieje \(i\in \{1,2, ...,10\}\) takie, że \(x_1-x_{i-1}>10\), to szukanym ciągiem będzie \((a_n)\), gdzie \(a_1=x_{i-1}+1\wedge r=1\)

2. Jeśli dla każdego \(i\in \{1,2, ...,10\}\) mamy \(x_1-x_{i-1}\le10\), to zbudujmy ciąg \((y_n)\) taki, że \(y_n\equiv x_n\mod10\wedge y_n<10\)

\(\quad\) a. Jeśli \((y_n)\) nie jest różnowartościowy, to istnieje takie \(k\in\{0,1,2, ..., 9\}\), że \(a_1\equiv k\mod10\wedge a_1\le10\wedge r=10\)

\(\quad\) b. W przeciwnym przypadku \((x_n)=(9,18,27,36,45,54,63,72,81,90)\). Wtedy, np. \((a_n)=(8,17,26,35,44,53,62,71,80,89)\)

Pozdrawiam