ciąg arytmetyczny
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
inter
- Często tu bywam
- Posty: 171
- Rejestracja: 01 cze 2016, 07:58
- Podziękowania: 14 razy
- Otrzymane podziękowania: 5 razy
ciąg arytmetyczny
Ze zbioru liczb 1,2,3,...,100 usuwamy losowo 10 liczb. Wykaż że spośród pozostałych 90 liczb możemy zawsze wybrać 10 liczb które są liczbami ciągu arytmetycznego.
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3530
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1936 razy
Re: ciąg arytmetyczny
Niech \(x_1<x_2<\cdots<x_{10}\) będą usuniętymi liczbami, ponadto \(x_0=0\). Wtedy:
1. Jeśli istnieje \(i\in \{1,2, ...,10\}\) takie, że \(x_1-x_{i-1}>10\), to szukanym ciągiem będzie \((a_n)\), gdzie \(a_1=x_{i-1}+1\wedge r=1\)
2. Jeśli dla każdego \(i\in \{1,2, ...,10\}\) mamy \(x_1-x_{i-1}\le10\), to zbudujmy ciąg \((y_n)\) taki, że \(y_n\equiv x_n\mod10\wedge y_n<10\)
\(\quad\) a. Jeśli \((y_n)\) nie jest różnowartościowy, to istnieje takie \(k\in\{0,1,2, ..., 9\}\), że \(a_1\equiv k\mod10\wedge a_1\le10\wedge r=10\)
\(\quad\) b. W przeciwnym przypadku \((x_n)=(9,18,27,36,45,54,63,72,81,90)\). Wtedy, np. \((a_n)=(8,17,26,35,44,53,62,71,80,89)\)
Pozdrawiam
1. Jeśli istnieje \(i\in \{1,2, ...,10\}\) takie, że \(x_1-x_{i-1}>10\), to szukanym ciągiem będzie \((a_n)\), gdzie \(a_1=x_{i-1}+1\wedge r=1\)
2. Jeśli dla każdego \(i\in \{1,2, ...,10\}\) mamy \(x_1-x_{i-1}\le10\), to zbudujmy ciąg \((y_n)\) taki, że \(y_n\equiv x_n\mod10\wedge y_n<10\)
\(\quad\) a. Jeśli \((y_n)\) nie jest różnowartościowy, to istnieje takie \(k\in\{0,1,2, ..., 9\}\), że \(a_1\equiv k\mod10\wedge a_1\le10\wedge r=10\)
\(\quad\) b. W przeciwnym przypadku \((x_n)=(9,18,27,36,45,54,63,72,81,90)\). Wtedy, np. \((a_n)=(8,17,26,35,44,53,62,71,80,89)\)
Pozdrawiam