oblicz ilość początkowych wyrazów

[marrrttii]

W ciągu arytmetycznym stosunek wyrazu ósmego do czwartego wynosi 5, a suma kwadratów wyrazów trzeciego i piątego równa się 100. Suma ilu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi -315?

[eresh]

W ciągu arytmetycznym stosunek wyrazu ósmego do czwartego wynosi 5, a suma kwadratów wyrazów trzeciego i piątego równa się 100. Suma ilu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi -315?

\(\frac{a_8}{a_4}=5\\
a_8=5a_4\\
a_1+7r=5(a_1+3r)\\
a_1+7r=5a_1+15r\\
-4a_1=8r\\
a_1=-2r\)

\(a_3^2+a_5^2=100\\
(a_1+2r)^2+(a_1+4r)^2=100\\
(-2r+2r)^2+(-2r+4r)^2=100\\
4r^2=100\\
r=5\;\; \vee \;\;r=-5\)

\(\begin{cases}r=5\\a_1=-10\end{cases}\;\;\;\vee\;\;\;\begin{cases}r=-5\\a_1=10\end{cases}\)

\(S_n=-315\\
\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n=-315\\
\frac{-20+(n-1)\cdot 5}{2}\cdot n=-315\;\;\;\vee\;\;\;\frac{20+(n-1)\cdot (-5)}{2}\cdot n=-315\\
-20n+5n(n-1)=-630\;\;\vee\;\;20n-5n(n-1)=-630\\
5n^2-25n+630=0\;\;\vee\;\;-5n^2+25n+630=0\\
\mbox{sprzeczność}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\vee\;\;\;n=14\;\vee\;n=-9\notin\mathbb{N}
\)

Odpowiedź: \(n=14\)