ciąg arytmetyczny z logarytmami

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
lnk123
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 15 kwie 2020, 12:52
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

ciąg arytmetyczny z logarytmami

Post autor: lnk123 » 15 kwie 2020, 13:12

Poproszę o pomoc.

Wyznacz wartości x, dla których liczby
\( \log _2{3^x} \), \( \log _2(3^{x+1}-3)\), \( \log _2(3^{x+2}-3)\)
są pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego

Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 15474
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9215 razy
Płeć:

Re: ciąg arytmetyczny z logarytmami

Post autor: eresh » 15 kwie 2020, 13:21

lnk123 pisze:
15 kwie 2020, 13:12
Poproszę o pomoc.

Wyznacz wartości x, dla których liczby
\( \log _2{3^x} \), \( \log _2(3^{x+1}-3)\), \( \log _2(3^{x+2}-3)\)
są pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego
\(3^{x+1}-3>0\;\;\wedge\;\;3^{x+2}-3>0\\
3^{x+1}>3\;\;\wedge\;\;3^{x+2}>3\\
x+1>1\;\;\wedge\;\;\;x+2>1\\
x>0\;\;\wedge\;\;\;x>-1\\
x\in(0,\infty)\)


\(a_1=\log_23^x\\
a_2=\log_2(3^{x+1}-3)\\
r=\log_2(3^{x+1}-3)-\log_23^x=\log_2\frac{3^{x+1}-3}{3^x}\)


\(a_4=a_1+3r\\
\log _2(3^{x+2}-3)=\log_2 3^x+3\cdot\log_2\frac{3^{x+1}-3}{3^x}\\
\log _2(3^{x+2}-3)=\log_2(3^x\cdot\frac{(3^{x+1}-3)^3}{3^{3x}})\\
3^{x+2}-3=\frac{(3^{x+1}-3)^3}{3^{2x}}\\
3^x=t\\
9t-3=\frac{(3t-3)^3}{t^2}\\
9t^3-3t^2=27t^3-81t^2+81t-27\\
18t^3-78t^2+81t-27=0\\
t=3\\
3^x=3\\
x=1\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍

lnk123
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 15 kwie 2020, 12:52
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: ciąg arytmetyczny z logarytmami

Post autor: lnk123 » 15 kwie 2020, 13:25

Dziękuję bardzo za pomoc, już rozumiem!