Ciąg arytmetyczny

[Tarkoczinko]

Dla pewnego \(x\in<0,\pi>\), trzy liczby \( \frac{1}{\tg x},1,\frac{\sin x}{1+\cos x}\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

[eresh]

Dla pewnego \(x\in,0,\pi>\), trzy liczby \(\frac{1}{\tg x},1,\frac{\sin x}{1+\cos x}\) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

\(2=\frac{1}{\tg x}+\frac{\sin x}{1+\cos x}\\
x\neq\frac{\pi}{2}, x\neq 0, x\neq \pi\\
2=\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\sin x}{1+\cos x}\\
2=\frac{\cos x+\cos^2x+\sin^2x}{\sin x(1+\cos x)}\\
2\sin x(1+\cos x)=1+\cos x\\
(1+\cos x)(2\sin x-1)=0\\
1+\cos x=0\mbox{ sprzeczne}\\
2\sin x=1\\
\sin x=\frac{1}{2}\\
x=\frac{\pi}{6}\\
x=\frac{5\pi}{6}\\
a_1=\sqrt{3}\;r=1-\sqrt{3}\\
a_1=-\sqrt{3}\;r=1+\sqrt{3}\)

[Galen]

\(a_1=\frac{cosx}{sinx}\\a_2=1\\a_3=\frac{sinx}{1+cosx}\\a_3-a_2=a_2-a_1\\a_1+a_3=2a_2\)
\(\frac{cosx}{sinx}+\frac{sin}{1+cos}=2\\\frac{cosx+cos^2x+sin^2x}{sinx(1+cosx)}=2\\\frac{1+cosx}{sinx(1+cosx)}=2\\\frac{1}{sinx}=2\\sinx=\frac{1}{2};\;\;\;\;x_1=\frac{\pi}{6}\\lub\\x_2=\frac{5\pi}{6}\)
Dla \(x_1\) jest...
\(a_1=\sqrt{3}\\a_2=1\\a_3=2-\sqrt{3}\\r=1-\sqrt{3}\)
Policz też dla \(x_2= 150^o\) ,tam tylko znaki będą do uwzględnienia...