granica ciągów

[micw]

Jak rozwiązać tą granice bez wyciągania 2 przed nawias w liczniku?

\( \Lim_{x\to \infty } \frac{2-1^x}{ \frac{3}{2}- \frac{1}{2}^x } \)

[radagast]

\( \Lim_{x\to \infty } \frac{2-1^x}{ \frac{3}{2}- \left( \frac{1}{2}\right) ^x } = \frac{2-1}{ \frac{3}{2}- 0 }= \frac{2}{3} \)

[micw]

1 do nieskończoności to wyrazenie nieoznaczone, a wynik to 4/3 @radagast

[radagast]

1 do nieskończoności to wyrazenie nieoznaczone, a wynik to 4/3 @radagast

owszem, ale tu podstawą jest 1, a nie wyrażenie dążące do 1 (przypuszczam, że źle przepisałeś przykładzik)

[micw]

Dobrze przepisałem, wynik w odpowiedzi to 4/3

[radagast]

No to jeszcze tak można to rozumieć
\( \Lim_{x\to \infty } \frac{2-1^x}{ \frac{3}{2}- \frac{1}{2}^x }= \frac{2-1}{ \frac{3}{2}- \frac{1}{2} } =\frac{2-1}{ \frac{3}{2}- \frac{1}{2} }= 1 \)
Nijak nie chce być \( \frac{4}{3} \)
żeby to było \( \frac{4}{3} \) to \(1^x\) musi dążyć do 0 , no i ten nawias, o, który początkowo uzupełniłam Twój zapis misi być.

[micw]

To jest postać wyjściowa granicy. Obliczyłem sumy kolejno w liczniku: \( \frac{1- \frac{1}{2}^n }{ \frac{1}{2} } \) oraz w mianowniku: \( \frac{1- \frac{1}{3}^n }{ \frac{2}{3} } \). Jeśli policzymy granicę w takich postaciach to wychodzi \(\frac{4}{3}\) ale pomnożyłem wyrażenia w obu przypadkach przez odwrotność mianownika i dostałem wcześniej wspomnianą postać. Ktoś przytomnie powie, że przecież wyszedł mi wynik ale zawsze doprowadzam wyrażenia do najprostszych postaci, a w tym przypadku nie wiem jak policzyć granicę z ostatecznej postaci bo wyjmowanie 2 przed nawias wydaje się trochę nienaturalne i wydaje mi się że jest inna metoda żeby to rozwiązać.

[radagast]

\( \Lim_{x\to \infty } \frac{1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2^2} +...+ \frac{1}{2^n} }{1+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{3^2} +...+ \frac{1}{3^n} }= \Lim_{x\to \infty } \frac{\frac{1}{1-\frac{1}{2}} }{\frac{1}{1-\frac{1}{3}} } = \frac{2}{ \frac{3}{2} }= \frac{4}{3} \)