Znajdź wzór jawny ciągu

[Kowal1998]

\(\begin{cases} a_0=0 \\ a_n = a_{n-1} + n^2 dla n \ge 1\end{cases} \)

[panb]

\(a_0=0\\
a_1=0^2+1^2\\
a_2=0^2+1^2+2^2\\
a_3=0^2+1^2+2^2+3^2\\
\ldots\\
a_n=0^2+1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)

Sprawdzenie (tak dla wątpiących): \(a_0=\frac{1}{6} \cdot 0 \cdot 1 \cdot 1=0\\
a_4=0+1+4+9+16=30, \,\,\, \frac{1}{6} \cdot 4 \cdot 5 \cdot 9=\frac{180}{6}=30\)

Dla ciągle nieprzekonanych - dowód indukcyjny.

[Kowal1998]

A jak udowodnić ten wzór przy pomocy mocnej indukcji?

[panb]

Normalnie.
1. Sprawdzić prawdziwość dla n=0
2. Założyć, że \(a_n=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
3. Udowodnić, że z tego wynika, że \(a_{n+1}=\frac{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)\)

Dowód:
Zgodnie ze wzorem rekurencyjnym \(a_{n+1}=a_n+(n+1)^2\,\, {\buildrel Z \over =}\,\, \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+(n+1)^2=\\=
\frac{1}{6}(n+1) \left(2n^2+n+6n+6 \right) = \frac{1}{6}(n+1) \left(2n^2+7n+6 \right) =\\= \begin{vmatrix}\Delta=49-48=1\\n_1=-2,\quad n_2=-1,5 \end{vmatrix}= \frac{1}{6}(n+1) 2(n+2)(n+1,5)=\\= \frac{1}{6}(n+1) (n+2)(2n+3) \)
Zatem na mocy indukcji, twierdzenie, że ciąg \((a_n)\) określony rekurencyjnie \( \begin{cases}a_0=0\\a_n=a_{n-1}+n^2 \end{cases} \) jest dany wzorem ogólnym \(a_n=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\) jest prawdziwe.

[Kowal1998]

Ma Pan jakiś patent na szukanie tych wzorów, czy po prostu Pan wypisuje kolejne wyrazy ciągu i na ich podstawie to określa?

[panb]

Na podstawie kolejnych wyrazów określiłem, że jest to suma kwadratów.
Wzór na sumę kwadratów n kolejnych liczb naturalnych jest dość popularny (można go znaleźć w internecie), a dowód indukcyjny, to ustalona procedura, którą należy realizować.

Przeważnie nie można zgadnąć wzoru ogólnego. Są na to metody, ale to już zupełnie inna historia.