potęgi

[franco11]

Wykaż, że jeśli \(n \in N\) to liczba

\(7^{n+2}-2^{n+2}+7^{n+1}-2^{n+1}\) jest podzielna przez 10

[eresh]

Wykaż, że jeśli \(n \in N\) to liczba

\(7^{n+2}-2^{n+2}+7^{n+1}-2^{n+1}\) jest podzielna przez 10

\(7^{n+2}-2^{n+2}+7^{n+1}-2^{n+1}=7^n\cdot 49-2^n\cdot 4+7^n\cdot 7-2^n\cdot 2=\\=7^n(49+7)-2^n(4+2)=7^n\cdot 50+6\cdot 7^n-6\cdot 2^n=7^n\cdot 50+6(7^n-2^n)=\\=7^n\cdot 50+6(7-2)(7^{n-1}+7^{n-2}\cdot 2+...+7\cdot 2^{n-2}+2^{n-1})=\\
=7^n\cdot 50+30(7^{n-1}+7^{n-2}\cdot 2+...+7\cdot 2^{n-2}+2^{n-1})=10(7^n\cdot 5+3(7^{n-1}+7^{n-2}\cdot 2+...+7\cdot 2^{n-2}+2^{n-1}))\)