Granice ciągów

[martikad]

Proszę o wytłumaczenie zadania. Oblicz granicę ciągu zbieżnego.
A. \(\sqrt[n]{10} = 1\)
B. \(\frac{2}{n + 4} = 0\)
Skąd te wyniki się wzięły?
Dlaczego wynikiem nie jest \( \infty\) lub 0?

[eresh]

a)
\(\Lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{10}=\Lim_{n\to\infty}10^{\frac{1}{n}}=10^{[\frac{1}{\infty}]}=10^0=1\)

b)
\(\Lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+4}=[\frac{2}{\infty}]=0\)

\(\frac{\mbox{liczba}}{\infty}=0\) (to dzielenie skończonej liczby przez coś bardzo dużego - wynik będzie bliski zero)

[martikad]

Proszę o wytłumaczenie granicy ciągu rozbieżnego i podanie kilka przykładów. Czy 2n + 4 jest rozbieżny?

[eresh]

tak,
\(\Lim_{n\to\infty}(2n+4)=[\infty +4]=\infty\)

inne ciągi rozbieżne
\(a_n=2^n\\
a_n=\sqrt{n}\\
a_n=\frac{n^2}{n+1}\)

[martikad]

Proszę o wytłumaczenie zadania oblicz granicę ciągu
\( \lim\limits_{n\to \infty } \dfrac{6n^6 - 2n }{2n ^5 - 1} = + \infty\)

[eresh]

Proszę o wytłumaczenie zadania oblicz granicę ciągu
\( \Lim_{n\to \infty } \frac{6n^6 - 2n }{2n ^5 - 1} = + \infty\)

\( \Lim_{n\to \infty } \frac{6n^6 - 2n }{2n ^5 - 1} =\Lim_{n\to\infty}\frac{n^6(6-\frac{2}{n^5})}{n^5(2-\frac{1}{n^5})}=\Lim_{n\to\infty}\frac{n(6-\frac{2}{n^5})}{2-\frac{1}{n^5}}= \left[ \frac{\infty(6-0)}{2-0}\right]=\infty \)

[martikad]

Proszę o wytłumaczenie zadania oblicz granicę ciągu
an = \sqrt{ \frac{9n^2 + 1 }{n^2 + 4 } } = 3

[eresh]

\(\Lim_{n\to\infty}\sqrt{ \frac{9n^2 + 1 }{n^2 + 4 } } =\Lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n^2(9+\frac{1}{n^2})}{n^2(1+\frac{4}{n^2})}}=\\=\Lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{9+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{4}{n^2}}}=\sqrt{\frac{9+0}{1+0}}=\sqrt{9}=3\)

[martikad]

Proszę o wytłumaczenie zadania oblicz granicę ciągu
an = \frac{5^n + 1000}{5^n+1 + 1} = \fraaca{1}{5}

[eresh]

\(\Lim_{n\to\infty}\frac{5^n+1000}{5^{n+1}+1}=\Lim_{n\to\infty}\frac{5^{n}(1+\frac{1000}{5^n})}{5^n(5+\frac{1}{5^n})}=\Lim_{n\to\infty}\frac{(1+\frac{1000}{5^n})}{(5+\frac{1}{5^n})}=\frac{1+0}{5+0}=\frac{1}{5}\)

[martikad]

\(\Lim_{n\to\infty}\frac{5^n+1000}{5^{n+1}+1}=\Lim_{n\to\infty}\frac{5^{n}(1+\frac{1000}{5^n})}{5^n(5+\frac{1}{5^n})}=\Lim_{n\to\infty}\frac{(1+\frac{1000}{5^n})}{(5+\frac{1}{5^n})}=\frac{1+0}{5+0}=\frac{1}{5}\)

Skąd się wzięło to 1 po 5^n ?

[eresh]

wyłączyłam \(5^n\) przed nawias
\(\frac{5^n}{5^n}=1\)

[martikad]

Dziękuję
Proszę o wytłumaczenie zadania oblicz granicę ciągu
an = \frac{(n + 1) ^1}{(n + 2)^2} = 0

[panb]

\((n+1)^1\) ?!
Używaj przycisku \(\).

Kod: Zaznacz cały

[tex](n+2)^2[/tex]

i masz \((n+2)^2\)

[martikad]

Oj przepraszam zgubiłam 0. Dzięki za podpowiedź

\( \frac{(n + 1)^10 }{(n + 2)^20 } = 0\)