Granica ciągu

[rubbishbin_]

Wyznacz wartość parametru p dla której granicą ciągu \( a_n=\dfrac{pn+1}{(p+1)n+1} \) jest \(g\).
\(g= -2\)
\(g= -\infty \)

[grdv10]

a) \(\dfrac{p}{p+1}=2\), b) \(p=-1\) (porównaj stopnie licznika i mianownika).

[Galen]

Licząc granicę wyłączasz w liczniku i w mianowniku \(n\),a potem skracasz ułamek.
\( \Lim_{n\to \infty}\frac{n(p+\frac{1}{n})}{n(p+1+\frac{1}{n})}=\Lim_{n\to \infty}\frac{p+\frac{1}{n}}{p+1+\frac{1}{n}}=\frac{p}{p+1}\)
Dalej już masz od szw1710.
\(\frac{p}{p+1}=2\\2p+2=p\\p=-2\\a_n=\frac{-2n+1}{-1n+1}\)

b)
\(\frac{p}{p+1}\;\; \to \;\;-\infty\)
Tu licznik i mianownik muszą być różnych znaków i mianownik musi zmierzać do zera
\(p+1\; \to \;0\;\;\;\;gdy\;\;\;\;\;p\; \to \;-1\\Ale\\p\;\; \to \;-1^-\;\;\;wtedy\;\;\frac{p}{p+1}\; \to \;+\infty\\Jedynie\;gdy\;\;p\; \to \;-1^+\\to\\\frac{p}{p+1}\; \to \;-\infty\)