Wyznacz okres podstawowy ciągu an =sin (pi*n^2/6) (okresem podstawowym ciągu (an) nazywamy najmniejszą liczby k ∊ N, dla której dla każdego n ∊ N, an = an+k).
Rozumiem ze k jest tzw. T oraz n jest moim x ale jak to zbadać lub udowodnić??
Zadanie potrzebuje rozwiązać do jutra więc Licze na pomoc ;//
Wyznacz okres podstawowy ci¡gu
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
Re: Wyznacz okres podstawowy ci¡gu
Oblicz kilka kolejnych wyrazów ciągu.
\(a_1=sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\\a_2=sin\frac{4\pi}{6}=sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\a_3=....\)
\(a_1=sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\\a_2=sin\frac{4\pi}{6}=sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\a_3=....\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
Re: Wyznacz okres podstawowy ci¡gu
Znaczy znalazłem wyraz dla którego wartość jest równa 0, jest to wyraz 6 ponieważ 6pi przyjmuje wartość właśnie 0, tylko czy to znaczy ze okres jest Równy 6?
Re: Wyznacz okres podstawowy ci¡gu
Sześć pierwszych wyrazów ciągu: sin(pi/6), sin(2pi/3), sin(3pi/2), sin(8pi/3), sin(25pi/6), sin(6pi)
Argument ostatniego sinusa (i tylko ostatniego) jest parzystą wielokrotnością pi, czyli wartość tego sinusa wynosi 0. Jeżeli ciąg jest okresowy, to co pewną liczbę wyrazów musi się pojawiać 0 - tutaj jest sześć wyrazów i 0 pojawia się tylko raz, więc okres wynosi przynajmniej 6 i w każdym okresie pojawia się przynajmniej jedno 0. Sinus równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy jego argument jest parzystą wielokrotnością pi. Czyli mój ciąg ma zera tam, gdzie n^2/6 jest liczbą parzystą. Zera tego ciągu pojawiają się co sześć wyrazów. Pozostaje pytanie: co się dzieje pomiędzy tymi zerami?
Argument ostatniego sinusa (i tylko ostatniego) jest parzystą wielokrotnością pi, czyli wartość tego sinusa wynosi 0. Jeżeli ciąg jest okresowy, to co pewną liczbę wyrazów musi się pojawiać 0 - tutaj jest sześć wyrazów i 0 pojawia się tylko raz, więc okres wynosi przynajmniej 6 i w każdym okresie pojawia się przynajmniej jedno 0. Sinus równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy jego argument jest parzystą wielokrotnością pi. Czyli mój ciąg ma zera tam, gdzie n^2/6 jest liczbą parzystą. Zera tego ciągu pojawiają się co sześć wyrazów. Pozostaje pytanie: co się dzieje pomiędzy tymi zerami?
- panb
- Expert
- Posty: 5122
- Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
- Lokalizacja: Nowiny Wielkie
- Podziękowania: 19 razy
- Otrzymane podziękowania: 2053 razy
- Płeć:
Re: Wyznacz okres podstawowy ci¡gu
Podejrzenie, że okres wynosi 6 należy uzasadnić. Argument o pojawianiu się zera nie jest dobry, bo wtedy
okresem sinusa byłoby \(\pi: \sin0=\sin\pi=\sin(2\pi)=\ldots=\sin (n\pi)=0\)
Funkcja sinus jest jednak okresowa, ale o okresie \(2\pi\) co oznacza, że \(\sin(x+2k\pi)=\sin x\)
\[a_{n+6}=\sin \frac{\pi (n+6)^2}{6} = \sin \frac{\pi(n^2+12n+36)}{6}=\sin \left( \frac{\pi n^2} {6}+ \pi \cdot \frac{12n+36}{6} \right) =\\=\sin \left( \frac{\pi n^2}{6}+2(n+3)\pi \right)=\sin \left( \frac{\pi n^2}{6}+2k\pi \right)=\sin \frac{\pi n^2}{6}=a_n \]
wobec tego z definicji okresu jest on równy 6.
okresem sinusa byłoby \(\pi: \sin0=\sin\pi=\sin(2\pi)=\ldots=\sin (n\pi)=0\)
Funkcja sinus jest jednak okresowa, ale o okresie \(2\pi\) co oznacza, że \(\sin(x+2k\pi)=\sin x\)
\[a_{n+6}=\sin \frac{\pi (n+6)^2}{6} = \sin \frac{\pi(n^2+12n+36)}{6}=\sin \left( \frac{\pi n^2} {6}+ \pi \cdot \frac{12n+36}{6} \right) =\\=\sin \left( \frac{\pi n^2}{6}+2(n+3)\pi \right)=\sin \left( \frac{\pi n^2}{6}+2k\pi \right)=\sin \frac{\pi n^2}{6}=a_n \]
wobec tego z definicji okresu jest on równy 6.