Granice ciągu - 3 zadania

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
SweetSloth
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 25 sie 2019, 15:47
Podziękowania: 3 razy
Płeć:

Granice ciągu - 3 zadania

Post autor: SweetSloth » 25 sie 2019, 16:20

Zbadać monotoniczność ciągu:
\(a_n = \frac{(2n)!}{n}\)

Obliczyć granicę ciągu (liczba Eulera):
\(a_n = (\frac{3-2n^2}{5-2n^2})^{1+n^2}\)

Obliczyć granicę ciągu (tw. o trzech ciągach):
\(\Lim_{n\to \infty }\frac{\sqrt[3]{n+1}+\sqrt[3]{n+2}+...+\sqrt[3]{2n}}{n\sqrt[3]{n}}\)

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3152
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1072 razy
Płeć:

Re: Granice ciągu - 3 zadania

Post autor: panb » 25 sie 2019, 23:40

\( \frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{(2(n+1))!}{(n+1)} \cdot \frac{n}{(2n)!}= \frac{(2n+1)(2n+2)n}{n+1}=2n(2n+1) >1 \), więc \(a_{n+1}.a_n\) co oznacza, że ciąg \( \left( a_n\right) \) jest rosnący

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 3152
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Otrzymane podziękowania: 1072 razy
Płeć:

Re: Granice ciągu - 3 zadania

Post autor: panb » 25 sie 2019, 23:50

\(a_n= \left( \frac{3-2n^2}{5-2n^2} \right)^{1+n^2}= \left( \frac{5-2n^2-2}{5-2n^2} \right)^{1+n^2} = \left(1- \frac{2}{5-2n^2} \right)^{1+n^2} = \left(1+ \frac{2}{2n^2-5} \right)^{1+n^2} =\\
\quad \,\,= \left(1+ \frac{1}{n^2-2,5} \right)^{1+n^2}= \left( 1+\frac{1}{n^2-2,5}\right)^{n^2-2,5} \cdot \left( 1+\frac{1}{n^2-2,5}\right)^{3,5} \)


\( \Lim_{n\to \infty } \left( 1+\frac{1}{n^2-2,5}\right)^{n^2-2,5}=e,\,\,\, \Lim_{n\to \infty } \left( 1+\frac{1}{n^2-2,5}\right)^{3,5}=1\), więc \( \Lim_{n\to \infty } a_n=e \cdot 1=e\)

SweetSloth
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 25 sie 2019, 15:47
Podziękowania: 3 razy
Płeć:

Re: Granice ciągu - 3 zadania

Post autor: SweetSloth » 26 sie 2019, 16:45

panb pisze:
25 sie 2019, 23:40
\( \frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{(2(n+1))!}{(n+1)} \cdot \frac{n}{(2n)!}= \frac{(2n+1)(2n+2)n}{n+1}=2n(2n+1) >1 \), więc \(a_{n+1}.a_n\) co oznacza, że ciąg \( \left( a_n\right) \) jest rosnący
dlaczego w liczniku pojawia się wyrażenie (2n+1)(2n+2)? Wydawało mi się, że powinno to wyglądać tak \( \frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{(2n)!(2n+1)}{(n+1)} \cdot \frac{n}{(2n)!}= \frac{n(2n+1)}{n+1} \) i wtedy skróci się 2n! tylko, że wtedy warunek z > 1 nie bardzo wychodzi

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13722
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8076 razy
Płeć:

Re: Granice ciągu - 3 zadania

Post autor: eresh » 26 sie 2019, 18:46

SweetSloth pisze:
26 sie 2019, 16:45
panb pisze:
25 sie 2019, 23:40
\( \frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{(2(n+1))!}{(n+1)} \cdot \frac{n}{(2n)!}= \frac{(2n+1)(2n+2)n}{n+1}=2n(2n+1) >1 \), więc \(a_{n+1}.a_n\) co oznacza, że ciąg \( \left( a_n\right) \) jest rosnący
dlaczego w liczniku pojawia się wyrażenie (2n+1)(2n+2)? Wydawało mi się, że powinno to wyglądać tak \( \frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{(2n)!(2n+1)}{(n+1)} \cdot \frac{n}{(2n)!}= \frac{n(2n+1)}{n+1} \) i wtedy skróci się 2n! tylko, że wtedy warunek z > 1 nie bardzo wychodzi
\(\frac{(2(n+1))!}{(n+1)} \cdot \frac{n}{(2n)!}==\frac{(2n+2)!}{(n+1)} \cdot \frac{n}{(2n)!}=\frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)}{(n+1)}\cdot\frac{n}{(2n)!}=\frac{2(2n+1)(n+1)}{n+1}\cdot\frac{n}{1}=2(2n+1)n\)