5 zadań z ciągów. Pomóżcie.

[Herem79]

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu pięciu zadań z ciągów. Jestem całkowicie zielony z matematyki i jesteście dla mnie ostatnią deską ratunku.
1. Które wyrazy nieskończonego ciągu a_n = 1- \frac{6}{n+1} są liczbami całkowitymi? Podaj ich wartości.
2. Sprawdz, czy nieskończony ciąg (a_n) jest monotoniczny, jeśli a_n = (n+4)^2.
3. Wykaż że ciąg (a_n) , gdzie a_n = 3n+1, jest ciągiem arytmetycznym.
4. Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których reszta z dzielenia przez 4 jest równa 1.
Na mój chłopski rozum to jakieś podchwytliwe zadanie
5. Wyznacz ogólny wyraz ciągu arytmetycznego (a_n), wiedząc że a_5 = -1, a_8 = - \frac{8}{27} . Zbadaj monotoniczność tego
ciągu.
Z góry dziękuję.

[Herem79]

Nie wiem czemu taki mi zostawiło taki zapis ułamków i ciągów. Wszystko robiłem według poradnika LaTex'a.

[Herem79]

Już chyba ustaliłem o co chodzi i poprawiam błąd.
1. Które wyrazy nieskończonego ciągu\(a_n = 1 - \frac{6}{n+1}\) są liczbami całkowitymi? Podaj ich wartość.
2. Sprawdz czy nieskończony ciąg \(a_n\) jest monotoniczny, jeśli \(a_n = (n+4)^2\).
3. Wykaż że ciąg \(a_n\) , gdzie \(a_n = 3n+1\) jest ciągiem arytmetycznym.
4. Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których reszta z dzielenia przez 4 jest równa 1.
5. Wyznacz ogólny wyraz ciągu arytmetycznego \(a_n\), wiedząc że \(a_n = -1\), \(a_8 = - \frac{8}{27}\). Zbadaj monotoniczność tego ciągu.

[panb]

1. ułamek \(\frac{6}{n+1}\) musi być liczba całkowitą, a to znaczy, że n+1 musi być dzielnikiem 6, czyli:
   \(n+1=1 \So n=0\\
   n+1=2 \So n=1\\
   n+1=3 \So n=2\)
   lub
   \(n+1=6 \So n=5\)
   W szkole średniej nie rozważa się wyrazów o numerze 0, więc
   Odp.: \(a_1,\,\, a_2\), oraz \(a_5\) to jedyne wyrazy całkowite ciągu \((a_n)\)
2. \(a_1=(1+4)^2=25\\
   a_2=(2+4)^2=36\\
   a_3=(3+4)^2=49\)
   Podejrzewamy, że ciąg jest rosnący
   \(a_{n+1}= \left(n+1+4 \right)^2,\quad a_n=(n+4)^2 \So \\ a_{n+1}-a_n =
   =(n+5)^2-(n+4)^2=[(n+5)-(n+4)][(n+5)+(n+4)]=(2n+9)>0 \text{ dla }n\ge 1\)
   Czyli dla \(n\ge1 \quad a_{n+1}>a_n\), a to oznacza, że ciąg (a_n) jest rosnący.

[panb]

• 3. Trzeba sprawdzić, że \(a_{n+1}-a_n\) jest stałą liczbą niezależną od \(n\) - pewnie dasz radę.

• 4.

  Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których reszta z dzielenia przez 4 jest równa 1.

  Te liczby to 13 (bo 13:4=3 reszty 1), 17, 21, ..., 97. Jest ich \(\frac{97-13}{4}+1= 22\) sztuki
  i tworzą ciąg arytmetyczny (\(a_1=13, \,\, r=4\)), więc \(13+17+21+\ldots+97= \frac{13+97}{2} \cdot 22=1210\)
  kto nie wierzy, może je dodać na piechotę - 22 sztuki to można ogarnąć.

[panb]

• 5. \(a_5=-1, a_8=- \frac{8}{27}\) . Ponieważ w ciągu arytmetycznym \(a_8=a_5+3r\), wiec
  \(- \frac{8}{27} =-1+3r \iff 3r=1- \frac{8}{27}= \frac{19}{27} \So r= \frac{19}{81}\)
  Wobec tego ogólny wzór tego ciągu to: \(a_n= \frac{19}{81}n+c\)
  Skoro \(a_5=-1\), to \(\frac{19}{81} \cdot 5+c=-1 \So c=- \frac{176}{81}\)
  Wzór ogólny to \(a_n= \frac{19}{81} n- \frac{176}{81}\).
  Sprawdzamy, czy wg tego wzoru otrzymamy poprawny wyraz\(a_8\):
  \(a_8= \frac{19}{81} \cdot 8- \frac{176}{81}=- \frac{24}{81}=- \frac{8}{27}\)
  Wszystko się zgadza, więc:
  
  Odp.: \(a_n=\frac{19}{81} n- \frac{176}{81}\), a ponieważ \(r>0\), więc ciąg ten jest rosnący.

P.S. Nie zapomnij kliknąć symbol podziękowania, jeśli uważasz, że otrzymałeś pomoc.

[Herem79]

Panb - Bardzo dziękuję. Poszły podziękowania, a ja sam z wrażenia i z szacunku przed Twoją wiedzą zdejmuję czapkę. Jeszcze raz wielkie dzięki.