Granica szeregu geometrycznego z logarytmem

[Miszka06]

Cześć, mam do Was pytanie odnośnie zadania, które od pewnego czasu staram się zrobić. Przykład prezentuje się następująco:

Rozwiąż równanie \(\Lim_{n\to \infty }( \log _{8}x+ \log _{8}^{2}x+\log_{8}^{3}x+...+\log_{8}^{n}x)\) \(=\Lim_{n\to \infty } \frac{(1+2+3+...+n)}{ \sqrt{n^{4}+4} }\)

Powyższe równanie rozpisałem sobie na dwie części - prawą i lewą. Prawą rozwiązałem i otrzymałem wynik \(\frac{1}{2}\). I co dalej? Mam taki pomysł, żeby przyrównań tę \(\frac{1}{2}\) do lewej strony równania, ale w takim wypadku nie mam pojęcia, co zrobić z granicą. Czy mógłbym liczyć na Waszą pomoc i objaśnienie? Z góry bardzo dziękuję!

[radagast]

\(\Lim_{n\to \infty }( \log _{8}x+ \log _{8}^{2}x+\log_{8}^{3}x+...+\log_{8}^{n}x)=^* \frac{\log _{8}x}{1-\log _{8}x}= \frac{1}{2} \iff \frac{\log _{8}x}{\log_88-\log _{8}x}= \frac{1}{2} \iff \frac{\log _{8}x}{\log_8 \frac{8}{x}}= \frac{1}{2} \iff\\
2\log_8x^2=\log_8 \frac{8}{x} \iff x^2= \frac{8}{x} \iff x^3=8 \iff x=2\)
\(^* przy\ \ \ założeniu, że \log _{8}x<1\ \ \ czyli\ \ \ x<8\) zastosowałam wzór na sumę szeregu geometrycznego.

[Miszka06]

\(\Lim_{n\to \infty }( \log _{8}x+ \log _{8}^{2}x+\log_{8}^{3}x+...+\log_{8}^{n}x)=^* \frac{\log _{8}x}{1-\log _{8}x}= \frac{1}{2} \iff \frac{\log _{8}x}{\log_88-\log _{8}x}= \frac{1}{2} \iff \frac{\log _{8}x}{\log_8 \frac{8}{x}}= \frac{1}{2} \iff\\
2\log_8x^2=\log_8 \frac{8}{x} \iff x^2= \frac{8}{x} \iff x^3=8 \iff x=2\)
\(^* przy\ \ \ założeniu, że \log _{8}x<1\ \ \ czyli\ \ \ x<8\) zastosowałam wzór na sumę szeregu geometrycznego.

Czyli mówiąc zupełnie niematematycznie, można stwierdzić, że przyrównując prawą stronę do lewej i zamieniając ją na wzór na sumę granica po prostu "znika"?

W sumie jak to przemyślałem, to już rozumiem, dlaczego on znika. Dzięki wielkie!