Szereg geometryczny

[Vacosq]

Proszę o pomoc

1) Szereg geometryczny \(\frac{2x}{x-1} + (\frac{2x}{x-1})^2 + (\frac{2x}{x-1})^3\) + ...... jest zbieżny dla :

a) x \(\in\) \((-1,\frac{1}{3})\)
b) x \(\in\) \((- \infty ,-1) \cup (\frac{1}{3},+ \infty )\)
c) x \(\in\) \((- \infty ,-1) \cup (1,+ \infty )\)
d) x \(\in\) \((\frac{1}{3},1)\)

2) Liczba a=log\(_{4}\) 15+2log\(_{8}\) \(\sqrt{125}\) jest równa:

a) log\(_{2}\) 5 \(\sqrt{15}\)
b) log\(_{2}\)(5+ \(\sqrt{15}\))
c) log\(_{2}\)\(\sqrt{75}\)
d) log\(_{2}\) 75

[Galen]

1)
Iloraz ciągu \(q= \frac{2x}{x-1}\) musi spełnić warunek \(-1<q<1\)
\(\frac{2x}{x-1}>-1\;\;\;i\;\;\;\; \frac{2x}{x-1}<1\\
\frac{2x+x-1}{x-1}>0\;\;\;\;i\;\;\;\;\; \frac{2x-x+1}{x-1}<0\\(3x-1)(x-1)>0\;\;\;\;i\;\;\;\;(x+1)(x-1)<0\\x\in (-1;\frac{1}{3})\)

[Galen]

\(log_415= \frac{log_215}{log_24}= \frac{log_215}{2}= \frac{1}{2}log_215=log_2 \sqrt{15}\\
2log_8 \sqrt{125}=log_8125= \frac{log_2125}{log_28}= \frac{log_2125}{3}= \frac{1}{3}log_2125=log_2 \sqrt[3]{125}=log_25\)
\(a=log_415+2log_8 \sqrt{125}=log_2 \sqrt{15}+log_25=log_25 \sqrt{15}\)