Monotoniczność, granica nieskończonego ciągu

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
not_a_genius
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 19
Rejestracja: 20 lut 2019, 18:00
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Monotoniczność, granica nieskończonego ciągu

Post autor: not_a_genius » 20 lut 2019, 18:10

Witam,
mam problem z jednym zadaniem, a właściwie z podpunktem b i c. Mam nieskończony ciąg \(a_n=\frac{(-1)^n(n+1)}{2n-1}\), ciag \(b_n=a_{2n}\) oraz \(c_n=a_{2n-1}\). W podpunkcie a) miałem wykazać ich monotoniczność co zrobiłem. Problem mam z 2 następnymi.

b) Wyznacz największą liczbę a i najmniejszą liczbę b, dla których każdy wyraz \(a_n\) spełnia warunek \(a \leq a_n \leq b\).
c) Czy ciąg \((a_n)\) jest zbieżny? Odpowiedź uzasadnij.

Nie mam pomysłu na te 2 podpunkty. Bardzo proszę o pomoc.

Pozdrawiam.

Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2939
Rejestracja: 20 gru 2013, 22:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1554 razy
Płeć:

Re: Monotoniczność, granica nieskończonego ciągu

Post autor: Panko » 20 lut 2019, 20:13

\(\Lim_{n\to \infty } b_{n} =\frac{1}{2}\) \(\\) , \(\Lim_{n\to \infty } c_{n} =-\frac{1}{2}\) \(\\) czyli \(\\)\(a_n\) nie jest zbieżny
\(a_1 \le a_n \le a_2\)

radagast
Guru
Guru
Posty: 16726
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 7062 razy
Płeć:

Re: Monotoniczność, granica nieskończonego ciągu

Post autor: radagast » 20 lut 2019, 20:30

not_a_genius pisze: Mam nieskończony ciąg \(a_n=\frac{(-1)^n(n+1)}{2n-1}\), ciag \(b_n=a_{2n}\) oraz \(c_n=a_{2n-1}\). W podpunkcie a) miałem wykazać ich monotoniczność co zrobiłem.
A ja ciekawa jestem jak udało Ci sie udowodnić monotoniczność ciągu \(a_n\)

not_a_genius
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 19
Rejestracja: 20 lut 2019, 18:00
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: Monotoniczność, granica nieskończonego ciągu

Post autor: not_a_genius » 20 lut 2019, 20:50

radagast pisze:
not_a_genius pisze: Mam nieskończony ciąg \(a_n=\frac{(-1)^n(n+1)}{2n-1}\), ciag \(b_n=a_{2n}\) oraz \(c_n=a_{2n-1}\). W podpunkcie a) miałem wykazać ich monotoniczność co zrobiłem.
A ja ciekawa jestem jak udało Ci sie udowodnić monotoniczność ciągu \(a_n\)
Źle trochę to napisałem. Udowodniłem b i c, bo tylko tyle trzeba było zrobić. Myślałem, żeby sprawdzić monotoniczność ciągu \(a_n\) no ale to \((-1)^n\) trochę psuje sprawe.

radagast
Guru
Guru
Posty: 16726
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 7062 razy
Płeć:

Re: Monotoniczność, granica nieskończonego ciągu

Post autor: radagast » 20 lut 2019, 20:53

not_a_genius pisze:Myślałem, żeby sprawdzić monotoniczność ciągu \(a_n\) no ale to \((-1)^n\) trochę psuje sprawe.
Zdecydowanie tak. Ciąg \(a_n\) nie jest monotoniczny.

not_a_genius
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 19
Rejestracja: 20 lut 2019, 18:00
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Re: Monotoniczność, granica nieskończonego ciągu

Post autor: not_a_genius » 20 lut 2019, 21:03

Panko pisze:\(\Lim_{n\to \infty } b_{n} =\frac{1}{2}\) \(\\) , \(\Lim_{n\to \infty } c_{n} =-\frac{1}{2}\) \(\\) czyli \(\\)\(a_n\) nie jest zbieżny
\(a_1 \le a_n \le a_2\)
Nie za bardzo to rozumiem :D. Dlaczego \(a_1 \leq a_n \leq a_2\) ?

radagast
Guru
Guru
Posty: 16726
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 7062 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 20 lut 2019, 21:08

Oblicz \(a_1\) i \(a_2\), ułóż stosowne nierówności i będziesz wiedział :)